问题45复数与其他知识的交汇问题一、考情分析复数在高考数学中所占的比重较小且难度不很大,一般以选择题或填空题的形式进行考查,但作为一个必考的知识点,它的考查方式却十分灵活,具有常考常新,活而不难的特点.由于复数具有代数和三角两种形式,它又与复平面的点之间建立起一一对应的关系,从而成为数形结合的重要桥梁,故而它常与其他知识点相结合,比如与简易逻辑、与方程、与函数、与三角、与平面向量、与解析几何等等.二、经验分享1.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．2.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．3.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可．三、知识拓展复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ＝OZ1＋OZ2,Z1Z2＝OZ2－OZ1.四、题型分析一、复数与集合、简易逻辑的结合【例1】设x∈R,则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意中利用定义来判断,即先判断由是否可以推出复数,再判断由复数是否可以推出.【解析】若x=1,则,反之若,则解得x=1,所以答案选C.【点评】本题考查了复数的概念和充分条件必要条件的判定,判断充要条件可从两方面考虑:一是解这类问题必须明确哪个是条件,哪个是结论；二是判断由条件是事可以推出结论,由结论是否可以推出条件,应用充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的定义加以说明.【牛刀小试】若集合（是虚数单位）,,则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得,故．故选C．二、复数与三角函数的结合【例2】复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简所给复数,再利用复数的几何意义确定z在复平面内对应的点.【答案】B【解析】由题意可知,,,则,对应的点在第二象限.故选B.【小试牛刀】若z＝sinθ－＋i是纯虚数,则tan的值为()A．－7B．－C．7D．－7或－【答案】【解析】A由于z＝sinθ－＋i是纯虚数,故sinθ＝,cosθ≠,∴cosθ＝－.故tanθ＝－.∴tan＝＝－7,故选A.三、复数与解析几何的结合【例3】复数z满足方程＝4,那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程____________【分析】根据题中所给条件,求复数,不难想到设出,代入条件：,可得：,运用复数模的计算公式化简为：,即可求出点的轨迹方程为.【解析】设则由得,即,则,所以点的轨迹方程为【点评】本题考查了轨迹方程、复数的几何意义和复数模长的计算,体现了数形结合数学思想的运用.处理这类问题常有两种方法：一,利用复数的代数形式进行求解,即“化虚为实”,思路自然清晰,但运算较烦,本题所用就是此法；二,利用几何意义求解,显得简捷明快,关于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的距离来解决,当然这还是要通过大量训练深入思考领悟.【小试牛刀】若,且,则的最小值为．【答案】．【解析】：设,则,所以．这表示的是一个以圆心为,半径为1的圆．而,这表示圆上任意一点到点的距离．由于圆心为到点的距离为：,所以的最小值为,故...
