高三数学 备考冲刺140分 问题23 利用方程思想求解数列问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

问题23利用方程思想求解数列问题一、考情分析数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组.二、经验分享(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(4)为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等三、知识拓展在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前n项和公式，有时还要用到以下结论：(1)在等差数列中an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(2)在等比数列中an＝am·qn－m(n，m∈N*)．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.四、题型分析(一)方程思想在等差数列中的应用【例1.】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．【分析】列出关于a1与d的方程组，求出a1与d，再求a9.【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.【点评】数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.∴或解得或∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.【小试牛刀】【山东济南外国语学校2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和()A．B．C．D．【答案】A【解析】 等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），解得a1＝﹣1，∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．故选A．(四)构造一元二次方程求解数列问题【例5】已知等差数列满足，则的取值范围是【分析】构造关于的一元二次方程【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解【小试牛刀】已知数列为正项的递增等比数列，，记数列的前n项和为，则使不等式2018成立的最大正整数n的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】设正项的递增等比数列{an}的公比为q＞1， a1+a5＝82，a2•a4＝81＝a1a5，所以是方程，解方程得a1＝1，a5＝81．∴q4＝81，解得q＝3．∴an＝3n﹣1．∴数列的前n项和为Tn＝2＝223（1）．则不等式化为：20181，即3n＜2018． 36＝729，37＝2187．∴使不等式成立的最大正整数的值为6．故选B．五、迁移运用1．【山东济南2019届期末】已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为()A．-2B．2C．-3D．3【答案】B【解析】由题意可得：5d＝25，解得d＝2．故选B．2.【甘肃、青海、宁夏2019届期末联考】设等比数列的前项和为，若，，则A．-60B．-40C．20D．40【答案】B3.【广东揭阳2019届模拟】记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=()A．-2B．2C．-8D．-2或-8【答案】C【解析】依题意，解得，故，故选C.4.【湖北宜昌2019届元1月调研】等比数列的前项和为，若，则公比（）A．1B．-1C．D．-2【答案】C【解析】当q=1时满足，当时，由，得，整理的，所以q=-1，综上得q=，故选C。5.【浙江台州2019届期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A6.【山东济南2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和()A．B．C．D．【答案】A【解析】 等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+1...