高三数学圆的方程知识精讲苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：圆的方程二.教学目的：使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程，能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．三.教学重、难点教学重点：掌握圆的方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的方程．教学难点：运用圆的方程解决一些简单的实际问题．四.基本内容1.圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．2.求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程．）（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点新疆学案王新敞（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明）3.圆的标准方程：已知圆心为，半径为，如何求圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：这个方程叫做圆的标准方程．若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是．4.圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径．圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决．5.圆的一般方程：将圆的标准方程的展开式为：，取得①再将①方程配方，得②不难看出，此方程与圆的标准方程的关系用心爱心专心116号编辑（1）当时，表示以（－，－）为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（－，－）；（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程．6.圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）和的系数相同，且不等于0；（2）没有这样的二次项．但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了．7.圆的切线的求法（1）若点（，）在圆+=的外面，则切线方程为（斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出．（2）若点（，）在圆上，则切线方程为．（3）若切线斜率为k，则圆的切线方程为．8.有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程．9.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d>R＋r外切相交内切内含【典型例题】例1.求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程．解：已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程．因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离．根据点到直线的距离公式，得．因此，所求圆的方程是用心爱心专心116号编辑．点评：由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的．而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质．解题时画出草图可帮助思考．例2.已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程．解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为．因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是． ∴．经过点M的切线方程是，整理得．因为点在圆上，所以，所求切线方程是．点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径（本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识），由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补...
