高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲VIP免费

高三数学函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性知识精讲（一）函数的值域1.函数的值域：值域是全体函数值所成的集合，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。2.基本函数的值域：（1）一次函数ykxbk()0的值域为R；（2）二次函数yaxbxca20()，当a0时值域是442acba，，当a0时，值域是，442acba；（3）反比例函数ykxk()0的值域为yR，且y0；（4）指数函数yaaax()01，且的值域是R；（5）对数函数yxaaalog()01，且的值域是R；（6）正弦函数yxsin、余弦函数yxcos的值域为[]11，，正切函数yxtan、余切函数yxcot的值域为R。3.求值域的基本方法：（1）分析观察法求值域有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。（2）配方法求值域二次函数或能转化为形如：Fxafxbfxc()[()]()2型的函数的值域，均可用配方法，但要注意fx()的取值范围。（3）不等式法求值域利用基本不等式abababcabc233，可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。（4）判别式法求值域把函数转化为关于x的二次方程Fxy(,)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域。形如yaxbxcaxbxcaa1211222212()，不同时为零的函数的值域常用此法求得。（5）反函数法求值域利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形如ycxdaxba()0的函数值域可用此法。（6）利用函数的单调性求值域如能确定函数在定义域的单调性，则可利用单调性求出其值域。形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，ac0），在a、c同号时，其单调性可确定，故可用单调性求其值域。在利用基本不等式求值域失效（等号不满足）时，此时，由于在所给定义域中取不到最值，故函数在定义域上是单调的，故可采用单调性求值域。（7）换元法求值域Www.chinaedu.com0002期版权所有不得复制1运用代数或三角换元，将所给函数转化成值容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如：yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且ac0）的函数常用此法求值域。（8）数形结合法求值域利用函数所表示的几何意义，借助几何方法或图像来求函数的值域。（二）函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性的概念设函数yfxxD()，，对任意的xD都有fxfx()()，则fx()是偶函数；若对任意的xD都有fxfx()()，则fx()是奇函数。由定义可知：（1）函数的定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判定函数的奇偶性时，首先要看定义域是否关于原点对称。如函数fxxx()(]211，，既不是奇函数又不是偶函数。（2）函数按奇偶性分类可分为：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数又不是偶函数。（3）既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式必为fx()0；若fx()为奇函数，且f()0有定义，则必有f()00。2.奇偶函数的图像特征fx()为奇函数fx()的图像关于原点对称；fx()为偶函数fx()图像关于y轴对称。根据奇偶函数的图像特征，由函数fx()的图像的对称性可判断函数fx()的奇偶性；反之由fx()的奇偶性，可判断函数fx()的图像的对称性。3.周期函数设函数yfxxD()，，如果存在非零的常数T，使得对任何xD都有fxTfx()()，则函数fx()为周期函数，T为fx()的一个周期。4.函数奇偶性的应用（1）利用奇偶性求有关函数值；（2）利用奇偶性求有关函数解析式；（3）利用奇偶性研究函数的其他性质；（4）奇偶性的推广。函数yfx()对定义域内的任一x都有faxfax()()，则yfx()的图像关于直线xa对称，函数yfx()对定义域内的任一x都有faxfax()()，则yfx()的图像关于点a，0成中心对称图形。（三）函数的单调性1.函数的单调性及单调区间（1）增函数：对任意xxabxxfxfx121212，，，()()，则fx()为ab，上的增函数；（2）减函数：对任意xxabxxfxfx121212，，，()...