专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)一、前测训练1．（1）点A是椭圆1203622yx的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于x轴上方，满足PA⊥PF，则点P的坐标为．（2）若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP�的最大值为．答案：(1)(,)．(2)6．2．(1)已知椭圆的方程为＋＝1，与右焦点F相应的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．若\s\up6(→)·\s\up6(→)＝0，求直线PQ的方程．(2)已知椭圆的方程为＋＝1，与右焦点F相应的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．设\s\up6(→)＝λ\s\up6(→)(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：\s\up6(→)＝λ\s\up6(→)．(3)已知椭圆方程为＋＝1，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点为(2，1)，求直线l的斜率．答案：(1)y＝±(x－3)．(2)略．(3)－．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点、代入方程、列式、消元；方法2：求点、代入方程、列式、求解．注意考虑x0(或y0)的取值范围．2．直线与椭圆相交于两点问题方法1设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)．注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x得关于y的方程．结论：弦长公式｜AB｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．方法2设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．方法3点差法设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得＝－×，即kAB＝－×，其中AB中点M为(x0，y0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．三、例题分析[第一层次]例1设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求C的方程；1（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．答案：（1）C的方程为＋＝1．（2）所截线段的中点坐标为（，－）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系．2．利用直线方程与椭圆方程组成的方程组研究直线与椭圆相交．3．利用韦达定理研究直线与椭圆相交的中点问题．二、方法选择与优化建议：1．研究“弦的中点问题”还可以利用“点差法”．本题由于直线方程和椭圆方程都是已知的，所以利用韦达定理来研究还是比较直接的．例2已知椭圆C：＋y2＝1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2，0）．（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；（2）若m＝3，求PA的最大值与最小值；（3）若PA的最小值为MA，求m的取值范围．答案：（1）左、右焦点坐标为（－，0），（，0）．（2）PA的最大值与最小值分别为和5．（3）m的取值范围是1＜m≤1＋．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆中的几个基本量以及它们之间的关系，椭圆的焦点坐标．2．点在椭圆上，点的坐标满足方程，同时点的横、纵坐标有范围．3．建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域．4．研究二次函数在定义域的一个端点取得最值时所满足的条件．5．解简单的分式不等式．二、方法选择与优化建议：1．突出函数思想，关注函数的定义域．结合函数的图象进行研究，体现数形结合的思想．例3已知椭圆C：＋＝1上一点A（1，），E、F是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．答案：直线EF的斜率为定值，且kEF＝．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．点斜式直线方程．2．通过直线方程和椭圆方程组成的方程组求交点坐标．3．直线的斜率公式．4．强化运算能力，要对自己的计算有信心．二、方法选择与优化建议：1．本题也可以先设出点E、F的坐标．由于已知了直线AE与直线AF斜率之间的关系，所以利用方程组求解较为合理．2．由于点A已经是直线与椭圆的一个交点，所以在解方程组时，要学会将椭圆方程理...
