等差数列的前n项和VIP免费

【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得10ad=140aaaaa=5a20d=1251135791＋＋＋＋＋＋101012()解得a1=113，d=－22．∴其通项公式为an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=36111即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3若am＝bN，则有3n－1＝5N－3即＝＋nN213()N若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[]A．1，3，5B．1，3，7C．1，3，99D．1，3，9解C2b=a5ab=3a由题设＋又 14＝5a＋3b，∴a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S=nad2500=n2n50n1nnnn()()1212∴a50=c=1＋(50－1)·2=99∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S(n1)dS(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知，有′化简，得解之，得④SSnndnndndndnn111121229131222913()()()()nd=511由①，有(2n＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d=111n=5∴共插入10个数．【例5】在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)[a(mn1)d]m+n11 ＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且Sm＝Sn，m≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(mn)[a(mn1)d]=0mna(mn1)d0111212∴Sm+n＝0【例6】已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．分析nS=nadan11等差数列前项和＋，含有两个未知数，nn()12d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．解dSnad3a3d=21ba15d=24n111设公差为，由公式＝＋得＋＋nn()12解方程组得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a2n110n=5.5{a}5nn112其余各项为负．数列{an}的前n项和为：S9n(2)=n10nn2＝＋－－＋nn()12∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50即－＋≤－＋＞∈T=n10nn5n10n50n6n*n22N说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．【例7】在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34又＝＋×S20ad20120192＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170解法二S=(a+a)202=10(aa)20120120×＋由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得(a2d)(abd)12a3da5d=41111＋＋＝－①＋＋＋－②由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2 d＞0∴{an}是递增数列...