核心素养测评三十五直接证明与间接证明(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是()A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为0”,其反设正确的是()A.a,b全为0B.a,b中只有一个为0C.a,b至少有一个为0D.a,b至少有一个不为0【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.要证a2+b2-1-a2b2≥0,只要证明()A.2ab-1-a2b2≥0B.(a2-1)(b2-1)≤0C.-1-a2b2≥0D.a2+b2-1-≤0【解析】选B.要证a2+b2-1-a2b2≥0,只要证明(a2-1)(1-b2)≥0,只要证明(a2-1)(b2-1)≤0.4.设n∈N,则-与-的大小关系是()A.->-B.-<-C.-=-D.不能确定【解析】选B.由题意知,(-)-(-)=(+)-(+),因为(+)2-(+)2=2[-]=2(-)<0,所以-<-.5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,mβ,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.其中正确命题的个数是世纪金榜导学号()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.若l⊥α,mβ,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,mβ,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,mβ,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,mβ,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘以得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应用了的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.答案:综合法7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a-1)·(b-1)·(c-1)>0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c”.答案:都不大于18.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是.世纪金榜导学号【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于三、解答题(每小题10分,共20分)9.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.【证明】如图,作AA′、BB′垂直于准线,取AB的中点M,作MM′垂直于准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|,由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,所以|AB|=|AA′|+|BB′|,所以只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|),由梯形的中位线定理知上式是成立的.所以,以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.世纪金榜导学号【证明】假设f(x)=0有整数根n,则an2+bn+c=0,由f(0)为奇数,知c为奇数,f(1)为奇数,知a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,又an2+bn=-c为奇数,所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.所以f(x)=0无整数根.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是()A.x2>2B.x2>4C.x2>0D.x2>1【解析】选C.因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a0,所以cosC<0,即△ABC一定是钝角三角形.4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设.【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.答案:x≠-1且x≠15.(10分)设a1,a2,a3,a4是...
