大题规范满分练(四)立体几何综合问题1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1.(2)求三棱锥D-BEC1的体积.【解析】(1)取AB的中点O,连接A1O,因为AF=AB,所以F为AO的中点,又E为AA1的中点,所以EF∥A1O,因为A1D=A1B1,BO=AB,ABA1B1,所以A1DBO,所以四边形A1DBO为平行四边形,所以A1O∥BD,所以EF∥BD,又EF⊈平面BDC1,BD平面BDC1,所以EF∥平面BDC1.(2)因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,因为A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,C1D=,又AA1平面AA1B1B,A1B1平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,因为AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,所以S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=,所以==S△BDE·C1D=××=.2.(2018·保定模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA=AB=BC=4,∠ABC=90°,PC=4,D为线段AC的中点,E是线段PC上一动点.(1)当DE⊥AC时,求证:PA∥平面DEB.(2)当△BDE的面积最小时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)在Rt△ABC中,AC=4,在△PAC中,由PA2+AC2=PC2知PA⊥AC,所以PA∥ED,又PA⊈平面EDB,ED平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)在等腰直角△ABC中,由D为AC中点知,DB⊥AC,又由PA⊥AC,PA⊥AB,AB∩AC=A,知PA⊥平面ABC,因为DB平面ABC,所以PA⊥DB,又DB⊥AC,PA∩AC=A知DB⊥平面PAC,因为DE平面PAC,所以DE⊥DB,即△EBD为直角三角形,所以DE最小时,△BDE的面积最小,过点D作PC的垂线,当E为垂足时,DE最小为,求得EC=,所以VE-BCD=×S△BDE·EC=.
