专题65离散型随机变量分布列与数字特征【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件.例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件.将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件（2）量化的事件之间通常互为互斥事件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素.它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果.例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具有的性质为：（1）（2），此性质的作用如下：①对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确②若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率（二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中即：则称随机变量服从超几何分布，记为（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有，即：则称随机变量符合二项分布，记为（三）数字特征——期望与方差1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：则称的值为的期望，记为（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望.例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有①是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：则的分布列为：②这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系.在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量...
