专题37难舍难分的与----求数列的通项公式【热点聚焦与扩展】关于求数列的通项公式问题，在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.本专题举例说常见类型的求解方法.1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式①等号右边为关于的表达式，且能够进行求和②的系数相同，且为作差的形式（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出.（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解4、已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式.6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．），必要时再利用数学归纳法证明.【经典例题】例1.（1）数列满足：，且，求.（2）已知数列满足：，且，求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）累加可得：（2）例2.（1）数列中，，，求数列的通项公式.（2）在数列中，，，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.是公比为的等比数列（2）是公差为2的等差数列例3.已知数列满足，，若，则数列的通项（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,例4.【2018届甘肃省兰州第一中学上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．【答案】【解析】因为以为坐标的点在曲线上，所以，即，两式相减，得，即，即，即，即，又，即数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列的通项公式为；故填.例5.【2018届四川省绵阳市三诊】已知正项数列的前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】(1)令求得,然后利用,求得通项公式.(2)化简得,为等差数列,利用等差数列前项和公式,求得.【试题解析】∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴数列的通项公式为.（2） ，代入化简得，显然是等差数列，∴其前项和.例6.【2018届河北省武邑中学高三下期中】已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）利用项和公式求数列的通项公式.（2）先求出，再裂项求和，再证明不等式.详解：(1)当时，有，解得，当时，有，则整理得∴数列是以为公比，以为首项的等比数列易知数列为递增数列，∴，即.例7.【2018届河北省衡水金卷一模】已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为...
