备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题28 平面向量的数量积求解两法-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题28平面向量的数量积求解两法【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法，一是遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解.（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得.其中成为平面向量的一组基底.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算，其中为向量的夹角3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，其中：同向：反向：4、数量积运算法则：（1）交换律：（2）系数结合律：（3）分配律：因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如：5、若，则由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：（1）向量的加减运算（2）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一.特别的，如果是边上的中线，则mnABCD3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角（二）平面向量的坐标运算1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一.其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则（可记为“终”“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求.另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设，则有：（1）加减运算：（2）数乘运算：（3）数量积运算：（4）向量的模长：3、向量位置关系的判定：（1）平行：（2）垂直：（3）向量夹角余弦值：4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（等）【经典例题】例1.【2018届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（）A.正数B.负数C.0D.以上说法都有可能【答案】B【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．例2.【2018届贵阳第一中学高考适应月考卷七】如图，在圆中...