立体几何3214、如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;（II）若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．15、如图甲，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将AMND沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙。）（I）求证：DC//平面AMB；（II）当DN的长为何值时，二面角D—BC—N的大小为60°？解析：(I)证明：依题意AM//DN，BM//CN，且DN∩CN=N，所以平面CND∥平面AMB,又因CD平面CDN,所以CD∥平面AMB。（II）如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标，由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，CN＝4－2cos60°＝3，MN＝建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，设，则．16、如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，AB∥CD，AB=AD=1．CD=2,DE=3，M为CE的中点．(I)求证：BM∥平面ADEF：(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值；(Ⅲ)求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．解析：证明：（Ⅰ）取DE中点N，连结MN，ａN在中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN//CD，且又已知AB//CD，且，所以MN//AB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM//AN又因为平面BEC，且平面BEC所以MM//平面ADEF（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，所以，取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则D（0,0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，3）（III）易证DA⊥平面DEC，取＝（1，0，0）为平面DEC的一个法向量，设平面BEC与平面DEC所成锐二面角为，则cos＝＝所以，平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为。17、在斜三棱柱中，侧面，,,,.(1)求证：；(2)在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为.解析：（1）证：，，即有；又，为中点，则(2)如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则有则,得所以，当时，二面角的大小为18、已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB，BC的中点，（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分所以．由图知，所求二面角的余弦值为．……………………12分
