立体几何144.已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．5.如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足为E，（I）求证：BD⊥A1C；（II）求二面角A1－BD－C1的大小；（III）求异面直线AD与BC1所成角的大小．（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；（II）连结A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝2，AA1=且AC⊥BD，∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝2，在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°．（III）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴FC1=，BC1＝，在△BFC1中，,∴∠C1BF=即异面直线AD与BC1所成角的大小为．6.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；7.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），∴………………………………3分ZYXODCBAV由……………………………………4分……………………………………5分又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分
