立体几何0912.．已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I)证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.AACBDEFBCDEF在RtADE中,，.解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点,又因,所以又且为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF，在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,在RtADE中,,.【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.13．如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。解法二:解法二:如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN.l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是AC=(1,1,m),NB=(1,－1,0).∴AC·NB=1+(－1)+0=0∴AC⊥NB.(Ⅱ)∵AC=(1,1,m),BC=(－1,1,m),∴|AC|=|BC|,又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB=,可得NC=,故C(0,1,).连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ,λ)(λ>0).∴HN=(0,1－λ,－λ),MC=(0,1,).HN·MC=1－λ－2λ=0,∴λ=,∴H(0,,),可得HN=(0,,－),连结BH,则BH=(－1,,),∵HN·BH=0+－=0,∴HN⊥BH,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(－1,1,0),∴cos∠NBH===∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),ABMNCl2l1Hxyz∴cos∠NBH===14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．解法二：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．……3分ED＝（0，b，0），BB\S\do(1)＝(0，0，2c)．ED·BB\S\do(1)＝0，∴ED⊥BB1．ABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1Ozxy又AC\S\do(1)＝(－2a，0，2c)，ED·AC\S\do(1)＝0，∴ED⊥AC1，……6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
