立体几何06解答题1.如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(ABCDEFOPH，0,0)，D(0,2，0)，∴，，设平面PAB的法向量为，则，，得，；设平面PDB的法向量为，则，，得，；,所求二面角的大小为arccos().2．如图，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)若二面角C1－BD－C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。解法一：（I）∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1；（II）设BD与AC相交于O，连接C1O，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，，∴BD⊥C1O，∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角，∴∠C1OC=60°，连接A1B，∵A1C1//AC，∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角，设BC=a，则CO=，CC1=CO·tan60°=，A1B=BC1=，，在△A1BC1中，由余弦定理得，∴∠A1C1B=，∴异面直线BC1与AC所成的角为。∴，∵，，∴，∴异面直线BC1与AC所成的角为。3．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离4．如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角.解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；直线BD与EF所成的角为5．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求.
