数列1522.已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=lg（1+），记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论.取n=1，有（1+1）＞，取n=2，有（1+1）（1+）＞，……由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞.①若①式成立，则由对数函数性质可断定：Sn＞lgbn+1.下面用数学归纳法证明①式.（i）当n=1时已验证①式成立.因而这就是说①式当n=k+1时也成立.由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立.由此证得：Sn＞lgbn+1.23.若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}前n项的和，对任意正整数n，an=－，4Bn－12An=13n.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设有抛物线列C1，C2，…，Cn，…抛物线Cn（n∈N*）的对称轴平行于y轴，顶点为（an，bn），且通过点Dn（0，n2+1），求点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为kn，求极限.解：（1）∵a1=－，an－an－1=－∴数列{an}是以－为首项，－1为公差的等差数列.∴An=由4Bn－12An=13n，得Bn=∴bn=Bn－Bn－1=－（2）设抛物线Cn的方程为y=a（x+）2－即y=x2+（2n+3）x+n2+1∵y′=2x+（2n+3），∴Dn处切线斜率kn=2n+3.∴24.设Sn是等差数列｛an｝前n项的和，已知S3与S4的等比中项为的等差中项为1，求等差数列｛an｝的通项an.整理得解得由此得an=1；或an=4－（n－1）=－n.经验证an=1时，S5=5，或an=n时，S5=－4，均适合题意.故所求数列通项公式为an=1，或an=n.评述：该题考查了数列的有关基本知识及代数运算能力，思路明显，运算较基本.25.设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f（）（n=2，3，4，…），求数列{bn}的通项bn；（3）求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.（2）由f（t）=，得bn=f+bn－1.∴{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列.∴bn=1+（n－1）=（3）由bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）=－（b2+b4+…+b2n）=－=－（2n2+3n）26.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，从而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－.
