数列0440.已知等差数列的前项和为（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和.解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.(Ⅰ)解法一：当时，,当时,.是等差数列,,············4分解法二：当时,,当时,.当时,..又,所以,得.············4分41．设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<42．已知为等比数列，，求的通项式。43．设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．……8分下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……10分于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．12分44．设等比数列的前n项和为，45．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得46．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得又是以为首项，以为公比的等比数列.（III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.
