数列0547．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.解析：解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．48．已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．（1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．(1)证明]当n=1时,a2=2a,则=a；2≤n≤2k－1时,an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.49．设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？.解(1)∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.当n≥2时,an=Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)=an－1－an∴=an=2048()n－1.(2)∵log2an=log22048()n－1]=12－n,∴Tn=(－n2+23n).由Tn<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn<－509.50．已知数列，其中，，（），记数列的前项和为，数列的前项和为。（Ⅰ）求；（Ⅱ）设（），（其中为的导数），计算。本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。51．数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。（Ⅱ）设的公比为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得∵等差数列的各项为正，∴∴∴52．已知数列满足，并且（为非零参数，）．（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；当时，证明.本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14分。（III）证明：当时，由（II）可知。又由（II）则从而因此53．已知数列满足，并且（为非零参数，）．（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；（Ⅱ）设，常数且．证明．本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14分。因此，对任意当且时，所以54．若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列（Ⅰ）求数列的公比；（Ⅱ）=4，求的通项公式。本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理能力。满分14分。55．已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1）因为a10=10,a20=10+10d=40,所以d=3．（2）因为a20=10+10d，所以a30=a20+10d3=10(1+d+d2)(d≠0)．注意到d≠0．于是当d∈-∞,0)∪(0,+∞)时，a30∈15/2，+∞).（3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1,a2,…,a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n,a10n+1,…a10(n+1)是公差为dn的等差数列．研究的问题可以是：试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围．研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)，可得当d>0时，a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等．
