课时作业15直线与平面垂直的判定——基础巩固类——1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．答案：A2．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直不相交．答案：C3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．答案：C4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.∴tan∠ADE＝.∴∠ADE＝60°.答案：C6．ABCD的对角线交点为O，点P在ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．解析： PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD. AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.答案：垂直7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．解析：BC⊥平面PACBC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案：48.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.证明：连接AC，则AC⊥BD，又BD⊥A1A，，AC∩AA1＝A，AC，A1A平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，A1C平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又BD∩BC1＝B，BD，BC1平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AFDE⊥AF. ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.——能力提升类——10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又 BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1＝A1C1＝＝.在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.∴sin∠C1BO＝＝＝.答案：D11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．解析：因为PA⊥平面AC，QD平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0
2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.答案：[2，＋∞)12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC...
