课时作业17数列求和时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(C)A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析：Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝2n＋1＋n2－2.2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2012等于(A)A．1006B．－1006C．2012D．－2012解析：S2012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2011＋2012)＝1006.3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(C)A．11B．99C．120D．121解析：∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令－1＝10，得n＝120.4．数列1，，，…，的前n项和为(B)A．B．C．D．解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，则Sn＝2，∴Sn＝2＝.5．数列1×，2×，3×，…的前n项和为(B)A．2－－B．2－－C．(n2＋n－2)－D．n(n＋1)＋1－解析：∵Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①∴Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×.②由①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－n×＝－n×＝1－－，∴Sn＝2－－.6．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于(A)A．1006B．2012C．503D．0解析：∵函数y＝cos的周期T＝＝4，∴可分四组求和：a1＋a5＋…＋a2009＝0，a2＋a6＋…＋a2010＝－2－6－…－2010＝＝－503×1006，a3＋a7＋…＋a2011＝0，a4＋a8＋…＋a2012＝4＋8＋…＋2012＝＝503×1008.故S2012＝0－503×1006＋0＋503×1008＝503×(－1006＋1008)＝1006.二、填空题7．数列11,103,1005,10007，…的前n项和Sn＝(10n－1)＋n2.解析：数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.8．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝153.解析：∵an＝2n－7，∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.9．数列，，，，…的前n项和等于－.解析：∵an＝＝，∴Sn＝＝＝－.三、解答题10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设的前n项和为Tn，求证Tn<1.解：(1)∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．(2)证明：∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，∴＝＝－，∴Tn＝＋＋…＋＝1－.∵n∈N*，∴>0，即Tn<1.11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．——能力提升类——12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，则该数列的前18项和为(D)A．2101B．2012C．1012D．1067解析：由题意可得a3＝a1＋1，a5＝a3＋1＝a1＋2，所以奇数项组成以公差为1，首项为1的等差数列，共有9项，因此S奇＝＝45.偶数项a4＝2a2，a6＝2a4＝22a2，因此偶数项组成以2为首项，2为公比的等比数列，共有9项，所以S偶＝＝－2＋210＝1022.故数列{an}的前18项和为1022＋45＝1067.13．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为(A)A．4(1－)B．4(－)C．1－D．－解析：∵an＝＝＝，∴bn＝＝＝4(－)．∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)＝4(1－)．14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝2，S2k＝18，则S4k＝(C)A．24B．28C．92D．54解析：由等差数列的性质知Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k仍成等差数列，所以新的公差为14，所以Sk＋S3k－S2k＝2(S2k－Sk)，所以S3k＝3(S2k－Sk)＝48，S2k－Sk＋S4k－S3k＝2(S3k－S2k)，所以S4k＝3(S3k－S2k)＋Sk＝92.15．在等差数列{an}中，公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解：(1)根据题意，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)bn＝a＝n(n＋1)．Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．bn＋1－bn＝2(n＋1)．当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1)＋bn＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝.当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝
