2.3.2圆的一般方程1.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线2ax+y-1=0的距离为1,则a等于(A)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心为(1,4),半径为2,圆心到直线的距离为=1,解得a=-,选A.2.(2017·汉口模拟)圆x2+y2-x+2y=0关于直线x-y=0对称的圆的方程为(A)(A)x2+y2+2x-y=0(B)x2+y2-2x+y=0(C)x2+y2-2x-y=0(D)x2+y2+x-2=0解析:圆的方程化为(x-)2+(y+1)2=,圆心坐标为(,-1),则圆心关于直线x-y=0的对称点为(-1,),因此所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=,即x2+y2+2x-y=0.3.已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM面积的最小值为.解析:将圆M:x2+y2-2x+2y=0化成标准方程(x-1)2+(y+1)2=2,圆心(1,-1),半径r=,因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2,要求△ABM面积最小值,即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小,而圆心(1,-1)到直线AB的距离为2,所以S△ABM的最小值为·|AB|·dmin=×2×=2.答案:24.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于.解析:设P点的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.答案:4π5.已知定点A(6,0),有一动点M在圆x2+y2=4上运动,则线段AM的中点P的轨迹方程为.解析:设P点坐标为(x,y),动点M(x0,y0),则有x=,y=,所以x0=2x-6,y0=2y.因为(x0,y0)在圆上,所以+=4.即(2x-6)2+(2y)2=4.所以P点的轨迹方程为(x-3)2+y2=1.答案:(x-3)2+y2=16.判断下列方程是否表示圆,若是,求出圆心和半径.(1)x2+y2-x+=0;(2)x2+y2+2ax=0(a≠0);(3)x2+y2+2ay-1=0;(4)x2+y2+20x+162=0.解:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式(x+)2+(y+)2=后,D2+E2-4F是否大于0,若大于0则表示圆,否则不表示圆.法一(1)将原方程转化为(x-)2+y2=0,表示一个点,坐标为(,0).(2)将原方程转化为(x+a)2+y2=a2(a≠0),表示圆,圆心为(-a,0),半径r=|a|.(3)将原方程转化为x2+(y+a)2=1+a2,表示圆,圆心为(0,-a),半径r=.(4)将原方程转化为(x+10)2+y2=102-162<0,不表示任何图形.法二(1)因为D2+E2-4F=(-1)2+02-4×=0,所以表示一个点,其坐标为(,0).(2)因为D2+E2-4F=4a2+0-0=4a2>0(a≠0),所以表示圆.又因为-=-a,-=0,=·=|a|,所以圆心为(-a,0),半径r=|a|.(3)因为D2+E2-4F=02+(2a)2+4=4(1+a)2>0,所以表示圆.又因为-=0,-=-a,=,所以圆心为(0,-a),半径r=.(4)因为D2+E2-4F=202+02-4×162=-624<0,所以不表示任何图形.7.若直线x+y=1平分圆x2+y2+Dx+Ey=0,则D与E的关系是(D)(A)D+E=2(B)D+E=1(C)D+E=-1(D)D+E=-2解析:因为x2+y2+Dx+Ey=0的圆心为(-,-),由题意得--=1,所以D+E=-2.故选D.8.(2018·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为(C)(A)(-∞,-2)(B)(-∞,-1)(C)(2,+∞)(D)(1,+∞)解析:曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆心,2为半径的圆,又曲线C上所有的点均在第二象限内,所以解得a>2,故选C.9.若直线x=my-1与圆C:x2+y2+mx+ny+p=0交于A,B两点,且A,B两点关于直线y=x对称,则实数p的取值范围为.解析:根据题意,可知直线AB的斜率为-1,故可知m=-1,并且中点坐标在y=x上,联立方程组得x=y=,即交点为(-,-),则该点在圆内部,则++-n+p<0,又圆心(-,-)即(,-)在y=x上得-=,n=-1,得p<-.答案:(-∞,-)10.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与y轴交于A点,与x轴交于B,C两点.(1)求△ABC的面积;(2)求△ABC外接圆的方程.解:(1)A(0,1),B(3+2,0),C(3-2,0),|BC|=4.S△ABC=|BC||OA|=×4×1=2.(2)法一设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则有解得故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.法二(几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为A(0,1),与x轴的交点为B(3+2,0),C(3-2,0).故可设外接圆的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则外接圆的半径为=3,所以外接圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.11.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围;(3)求圆心C的轨迹方程.解:(1)要使方程表示圆,则4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,即4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-36>0,整理得7m2-6m-1<0,解得-
