2.3.1圆的标准方程1.以(-2,3)为圆心,与y轴相切的圆的标准方程为(A)(A)(x+2)2+(y-3)2=4(B)(x-2)2+(y+3)2=4(C)(x+2)2+(y-3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=25解析:因为圆心坐标(-2,3),圆与y轴相切,所以r=|-2|=2,所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是(A)(A)(-,1)(B)(-∞,-)∪(1,+∞)(C)[-,1)(D)(-∞,-)∪[1,+∞)解析:联立解得P(a,3a).因为点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部.所以(a-1)2+(3a-1)2<4.解得-
0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(B)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:由题意知以AB为直径的圆O与圆C有公共点,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6.故选B.4.若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b等于(A)(A)3(B)2(C)5(D)1解析:由题可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,所以a+b-3=0,即a+b=3.5.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2,则a2+5=r2,且=,解得a=2或a=-2(舍去),所以r2=9.所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.答案:(x-2)2+y2=96.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=25上一点M(x0,y0),则(x0-6)2+(y0+4)2的最小值为.解析:因为(x0-6)2+(y0+4)2表示点A(6,-4)与圆上动点M(x0,y0)之间的距离的平方,故|AM|最小,|AM|2也达到最小,而|AM|的最小值为|AC|-r=-5=-5,所以|AM|2=54-10.答案:54-107.(2017·海口模拟)方程(x+y-1)=0所表示的曲线是图中的.解析:原方程等价于或x2+y2=4.所以,当x+y-1=0时,只有有意义,等式才成立,即x2+y2≥4,此时它表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分,故选④.答案:④8.已知圆C经过A(0,0),B(2,0),且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为(C)(A)(x-1)2+(y-1)2=4(B)+=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2(D)(x-1)2+(y-2)2=5解析:因为圆心在弦的中垂线上,所有可设C(1,m),由于△ABC为等腰直角三角形,所以|AC|==,因为m>0,所以m=1,所以圆心坐标为(1,1),圆的半径为,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选C.9.过点P(1,2)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤9}分为两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为(A)(A)x+2y-5=0(B)y-2=0(C)2x-y=0(D)x-1=0解析:要使面积之差最大,必须使过点P的弦最小,所以该直线与直线OP垂直,又kOP=2,所以所求直线的斜率为-,由点斜式可求得直线方程为x+2y-5=0,故选A.10.过点P(2,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:因为点P(2,1)在圆C的内部,所以当且仅当CP⊥l时,∠ACB最小,又CP的斜率为1,所以直线l的斜率为-1,故l的方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=011.圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程为.解析:过点P且与直线l垂直的直线方程为y=x-5,圆心为直线y=x-5与y=-4x的交点,易知圆心坐标为(1,-4),故半径r==2,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.答案:(x-1)2+(y+4)2=812.如图,已知圆M过点P(10,4),且与直线4x+3y-20=0相切于点A(2,4).(1)求圆M的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.解:(1)过点A(2,4)且与直线4x+3y-20=0垂直的直线方程为3x-4y+10=0,①AP的垂直平分线方程为x=6,②由①②联立得圆心M(6,7),半径r=|AM|==5,圆M的方程为(x-6)2+(y-7)2=25.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为|BC|=|OA|==2,而|MC|2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.13.已知实数x,y满足y=,试求k=的最值.解:y=可化为x2+y2=3(y≥0),表示以原点O(0,0)为圆心,r=为半径的上半圆,k=可看作半圆上的点M(x,y)与定点P(-3,-1)连线的斜率,如图所示.当直线y+1=k(x+3)与半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径,得=,化简得3k2-3k-1=0,k=,舍去负值,得k=为所求k的最大值;当直线y+1=k(x+3)过点B时,k==为所求k的最小值.综上,k的最大值为,最小值为.
