课下能力提升(十三)[学业水平达标练]题组1向量的有关概念1．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240km，摩托车走的路程为90km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量，，是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确．因为向量是单位向量，故||＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为||＝1，所以向量是单位向量，故③正确．题组2向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共()A．向东行进了8千米B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A．和B．和C．和D．和解析：选B和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)||＝3，点A在点O的正西方向；(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝＝3.题组3相等向量与共线向量7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有()A．2个B．3个C．6个D．9个解析：选D与向量共线的向量有，，，，，，，，，共9个．9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：(1)与共线的向量有_____________________________________________；(2)与相等的向量有_____________________________________________；(3)与模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有，，，，，，.(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.答案：(1)，，，，，，(2)，(3)，，，，，，，，10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．[能力提升综合练]1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是()A．与B．与C．与D．与解析：选B向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝()A．1B.C．2D．2解析：选D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt...
