2.5.1平面几何中的向量方法主动成长夯基达标1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则()A.=B.与共线C.D.与共线解析：如图,=,∴,共线.答案：D2.在△ABC中,若||=1,||=1,||=1.5,则|-|的值为()A.0B.1C.1.5D.2解析：|-|=||=1.5.选C.答案：C3.若=2e1,=4e1,且与的模相等,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形解析：=,又||=||,∴四边形ABCD为等腰梯形.答案：C4.有一边长为1的正方形ABCD,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________________.解析：如图,|a+b+c|=2|c|=.答案：5.已知O(0,0)和A(6,3),若点P在直线上,且=2,P是线段的中点,则B的坐标是______________.解析：设P(x,y),则=(6,3),∴(x,y)=λ(6,3).又=(6-x,3-y),∴(6-x,3-y)=2(x,y).得x=2,y=1,∴B点坐标为(4,2).答案：(4,2)6.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为__________________.解析：x-2y+3=0的一个法向量为(1,-2),设P(x,y)是要求直线上任一点,则,即2x+y-1=0.答案：2x+y-1=07.已知Rt△ABC,∠C=90°,设AC=m,BC=n.若D为斜边AB中点,求证:CD=AB.解析：以C为坐标原点,以CB、CA所在的直线为x轴、y轴建立坐标系,如图所示.A(0,m),B(n,0),∵D为AB中点,D(,),∴||=,||=.∴||=||,即CD=AB.命题得证.8.如图2-5-4,O为△ABC的外心,E为三角形内一点,满足=++.求证:⊥.图2-5-4证明：∵=-,=-=(++)-=+,∴·=(-)·(+)=||2-||2.∵O为外心,∴||=||,即·=0,⊥.9.已知A(,-2)与B(-,4),若||=||,求动点P的轨迹方程.解：设AB的中点为M,则M(0,1).设P(x,y),则=(-x,1-y),=(-23,6),∵⊥,∴x+6-6y=0,即所求轨迹方程为x-3y+3=0.10.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰Rt△OAB,∠OBA=90°,求点B的坐标和向量.解：设B点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2).∵∠OBA=90°,即⊥,·=0,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2-4x-2y=0.①设OA的中点为C,则点C(2,1),=(2,1),=(x-2,y-1),在等腰Rt△AOB中,⊥,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y-5=0.②联立①②解得或故B点的坐标为(1,3)或(3,-1).当B(1,3)时,=(-3,1);当B(3,-1)时,=(-1,-3).走近高考11.(2004广州模拟)已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,且=,则点P与△ABC的位置关系是()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上解析：∵=,∴=+=,即=2.∴A、C、P三点共线,即P在AC上.选D.答案：D12.在△ABC中,O为中线上的一个动点,若=2,则·(+)的最小值是___________.解析：由题意易得=2||·||·cos180°=-2||·||.答案：-2
