平面向量应用举例分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(C)A.B.2C.D.2.初速度为|v0|,发射角为θ,若要使炮弹在水平方向的速度为|v0|,则发射角θ应为(D)A.15°B.30°C.45°D.60°3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是(A)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1与F2的夹角为60°,且F1,F2的大小分别为2N和4N,则F3的大小为(D)A.6NB.2NC.2ND.2N5.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=(D)A.2B.C.D.6.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(C)A.B.C.D.7.已知速度v1=(1,-2),速度v2=(3,4),则合速度v=(4,2).8.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向夹角为,人的拉力为50N,则纤夫对船所做的功为9.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为y2=8x.10.某人从点O向正东走30m到达点A,再向正北走30m到达点B,则此人的位移的大小是60m,方向是北偏东30°.11.如图所示,已知任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:=(+).【证明】=++,①=++,②又因为点E,F分别是AD,BC的中点,=-,=-,由①+②得,2=+,即=(+).12.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.【解析】如图所示,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5km/h.因为四边形OACB为矩形,由=tan30°,得||====5(km/h).||==10(km/h).所以水流速度为5km/h,船的实际速度为10km/h.B组提升练(建议用时20分钟)13.一船从某河的一岸驶向另一岸,船速为v1,水速为v2,已知船可垂直到达对岸,则(B)A.|v1|<|v2|B.|v1|>|v2|C.|v1|≤|v2|D.|v1|≥|v2|14.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是(B)A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形15.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5.则·+·+·=-25.16.在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=.17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.【证明】设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d.所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得,a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=-=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.18.如图,用两根分别长5米和10米的绳子,将100N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点与屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【解析】如图,由已知条件可知,AG与竖直方向成45°角,BG与竖直方向成60°角.设A处所受力为Fa,B处所受力为Fb,物体的重力为G,∠EGC=60°,∠EGD=45°,则有|Fa|cos45°+|Fb|cos60°=|G|=100,①且|Fa|sin45°=|Fb|sin60°.②由①②解得|Fa|=150-50,所以A处所受力的大小为(150-50)N.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若(-)·(+)=(-)·(+)=0,则O为△ABC的(B)A.内心B.外心C.重心D.垂心20.如图所示,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折起使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积.【解析】如图所示,建立直角坐标系,显然EF是AM的垂直平分线,设AM与EF交于点N,则N是AM的中点,又正方形边长为8,所以M(8,4),N(4,2).设点E(e,0),则=(8,4),=(4,2),=(e,0),=(4-e,2),由⊥得,·=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得e=5.即||=5.所以=||||=×5×4=10.
