高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学业分层测评 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.3.1平面向量基本定理学业(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2【解析】B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．【答案】B2．如图238，向量a－b等于()图238A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2【解析】不妨令a＝CA，b＝CB，则a－b＝CA－CB＝BA，由平行四边形法则可知BA＝e1－3e2.【答案】C3.如图239，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG＝()图239A．a＋bB．a＋bC．a－bD．a＋b【解析】易知CF＝CD，CE＝CB.设CG＝λCA，则由平行四边形法则可得CG＝λ(CB＋CD)＝2λCE＋2λCF，由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝，从而CG＝CA，从而AG＝AC＝(a＋b)．【答案】D4．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为()A．B．C．D．【解析】∵CD＝4DB＝rAB＋sAC，∴CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝－＝.【答案】C5．如要e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对【解析】选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．【答案】A二、填空题6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【解析】由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】－7．如图2310，在平面内有三个向量OA，OB，OC，|OA|＝|OB|＝1，OA与OB的夹角为120°，OC与OA的夹角为30°，|OC|＝5，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.图2310【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，则∠COQ＝∠OCP＝90°，在Rt△QOC中，2OQ＝QC，|OC|＝5.则|OQ|＝5，|QC|＝10，所以|OP|＝10，又|OA|＝|OB|＝1，所以OP＝10OA，OQ＝5OB，所以OC＝OP＋OQ＝10OA＋5OB，所以m＋n＝10＋5＝15.【答案】15三、解答题8．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：(1)AD与BD夹角的大小；(2)DC与BD夹角的大小．【解】(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，∴△ABC为直角三角形．∵tanA＝＝＝，∴A＝30°.又∵D为AC的中点，∴∠ABD＝∠A＝30°，AD＝DC.在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，∴AD与BD的夹角为120°.(2)∵AD＝DC，∴DC与BD的夹角也为120°.9.如图2311所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设AB＝a，AD＝b.图2311(1)用a，b表示DE；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线．【解】(1)DE＝AE－AD＝AB＋BE－AD＝a＋b－b＝a－b.(2)证明：连接AC，BD交于O，则CO＝CA.∵E，F分别是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，∴GO＝CO＝×AC＝－AC，又C为公共点，∴A，G，C三点共线．[能力提升]1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．【答案】B2．如图2312，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值.【导学号：70512031】图2312【解】设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，∴BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.又BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，∴解得∴AP＝AM，即AP∶PM＝4∶1.