高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.3从速度的倍数到数乘向量典题精讲例1(安徽高考卷，理14)在ABCD中，AB=a，AD=b，AN=3NC,M为BC的中点，则MN=___________________.（用a,b表示）思路解析：把向量MN放在△AMN中，利用三角形法则转化为向量a,b的线性表示.如图2-3-4所示，由AN=3NC，得AN=43AC，图2-3-4∴AN=43(a＋b）.在△ABM中，AM=a＋21b，则MN=AN-AM=43(a＋b)-(a＋21b)=41a＋41b.答案：41a＋41b绿色通道：用已知向量（通常是向量基底）表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.变式训练1如图2-3-5所示，ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD.图2-3-5思路分析：把MA,MB,MC和MD放入三角形中，利用三角形法则或平行四边形法则来解决.解：在ABCD中，∵AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,∴MA=-21AC=-21(a+b)=-21a-21b，MB=21DB=21（a-b)=21a-21b,MC=21AC=21a+21b，1MD=-MB=-21a+21b.变式训练2如图2-3-6，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c,d表示AB和AD.图2-3-6思路分析：本题可将c,d看作基底，即用基底表示AB和AD.解：设AB=a，AD=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得BN=21b，DM=21a.从△ABN和△ADM中可得，.21,21cabdba解得),2(32),2(32dcbcda即AB=32（2d-c)，AD=32（2c-d).例2如果向量AB=i-2j,BC=i+mj,其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.思路分析：向量AB、BC有一个公共点，如果它们共线，那么一个向量可以用另一个向量线性表示.解：∵A、B、C三点共线，即AB、BC共线，∴存在实数λ使得AB=λBC,即i-2j=λ(i+mj).∴i-2j=λi+λmj.于是.2,1m解得m=-2，即m=-2时，A、B、C三点共线.绿色通道：三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.变式训练1(2005山东高考卷，理7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是（）2A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D思路解析：AD=AC+CD=AB+BC+CD=（a+2b）+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3AB,∴A、B、D三点共线.答案：A变式训练2已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ,使得ke1+e2=λ(e1+ke2).解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.∵e1和e2不共线，∴.1,0kk∴k=±1.问题探究问题1点O是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三点，动点Ｐ满足OP=OA+λ(||||ACACABAB),λ∈［0,+∞).试探求点P的轨迹是否一定过定点？若过定点，定点是什么点？导思：思路一画图并结合向量加法的几何意义；思路二转化为向量共线来探求.探究：∵OP=OA+λ(||||ACACABAB)，∴OP-OA=λ(||||ACACABAB).∴AP=λ(||||ACACABAB).设AD=||ABAB,AE=||ACAC，如图2-3-7所示，图2-3-7则AD与AB共线且同向，AE与AC共线且同向；AD和AE均是单位向量.3设AD＋AE=AG，则四边形ADGE是菱形，AP=λAG.∴点G在∠BAC的平分线上.又∵λ∈［0,+∞)，∴点P在射线AG上.∴点P的轨迹是∠BAC的平分线上，一定过△ABC的内心.4