2.2平面向量的线性运算典题精讲例1已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路解析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|；当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出图形辅助解答；关键是准确、恰当地进行分类，分别处理.变式训练已知向量a，b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.思路解析：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；（2）当a，b为非零向量，且a，b不共线时，有|a|+|b|＞|a-b|＞||a|-|b||；（三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示）当a，b为非零向量，且a，b同向共线时，|a|+|b|＞|a+b|=||a|-|b||；当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，|a|+|b|=|a+b|＞||a|-|b||.答案：|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||，结合|a|+|b|≥|a+b|≥||a|-|b||因此有|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||.例2化简下列各式：（1）；（2）［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.思路分析：对于（1），可以利用三角形法则对向量进行分解；对于（2）利用向量线性运算的运算法则化简.解：（1）++=+++(=+)=+++=0+2=2.（2）［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=(4a-3b+b-a+b)=［（4-）a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.变式训练(2006全国高考卷Ⅰ，理9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3，满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则（）A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0思路解析：向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.向量a1、a2、a3顺时针旋转30°后与b1、b2、b3同向，且|bi|=2|ai|，∴b1+b2+b3=0.答案：D例3已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2是共线向量，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.解： ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).∴(k-λ)e1=(λk-1)e2. e1和e2不共线，∴∴k=±1.绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.变式训练若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m+2n=a①m-3n=b②3×②，得3m-9n=3b.③①-③，得11n=a-3b.∴n=a-b.④将④代入②,有m=b+3n=a+b.例4一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解：如图2-2-6，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，∠AOC=30°，||=5km/h，图2-2-6 四边形ABCD为矩形，∴||=||cot30°=，||==10.绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤为：(1)用向量表示物理量；(2)进行向量运算；(3)回扣物理问题，解决问题.变式训练一架执行救灾任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行.已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离.思路分析：首先根据题意作出图形，如图2-2-7，然后由A地确定B、C两地的方位与距离.图2-2-7解：根据题意和图形，可知∠BAC=90°，||=||=300km，则可得||=300km；又由于∠ABC=45°,A地在B地东偏南60°的方向处，可知C地在B地东偏南15°的方向处.所以飞机从B地向C地飞行的方向为C地在B地东偏南15°的方向处.B、C两地的距离为300km.问题探究问题1已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连.以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.试探究A1、A2、A3是平面内不共线的...
