平面向量的线性运算分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.下列三个命题:①若a+b=0,b+c=0,则a=c;②=的等价条件是点A与点C重合,点B与点D重合;③若a+b=0且b=0,则-a=0.其中正确命题的个数是(B)A.1B.2C.3D.02.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么(A)A.=B.=2C.=3D.2=3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则(A)A.++=0B.-+=0C.+-=0D.--=04.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则(D)A.k=0B.k=1C.k=2D.k=5.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且++=,则(D)A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上6.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么为(A)A.a+bB.a-bC.a-bD.-a+b7.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题:①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.其中正确的为①②.8.已知||=||=1,且∠AOB=60°,则|+|=.9.设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值的和为24.10.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=2.11.如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形.又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.【解析】===(-)=(a-b),所以=+=b+a-b=a+b,==,所以=+=+==(+)=(a+b)=a+b.=-=(a+b)-a-b=a-b.12.两个非零向量a,b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.【解析】(1)因为=++=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6,又与有公共点A,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与2a+kb共线,所以ka+b=λ(2a+kb).所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0,所以⇒k=±.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知四边形ABCD是一菱形,则下列等式中成立的是(C)A.+=B.+=C.+=D.+=14.已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,则实数k的值为(B)A.-4B.-2C.2D.415.已知点G是△ABC的重心,则++=0.16.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是30°.17.已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,且=,=.求证:四边形ABCD是平行四边形.【证明】如图所示.=+,=+.又因为=,=,所以=,所以AB∥DC,且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.18.已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.【解析】设=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图所示:则=a+b,=a-b,所以||=||.又因为四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB中,||=8,||=6,由勾股定理得||===10.所以|a-b|=10.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(B)A.外心B.内心C.重心D.垂心20.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求【解析】设=a,=b,则=-=a-b.因为|a|=|b|=|a-b|,所以BA=OA=OB.所以△OAB为正三角形.设其边长为1,则|a-b|=||=1,|a+b|=2×=.所以==.
