2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课时过关·能力提升1.已知e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则A点的坐标和AB中点的坐标分别为()A.2,1B.5,4C.4,5D.1,-2答案:B2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么()A.k=1,且c与d同向B.k=1,且c与d反向C.k=-1,且c与d同向D.k=-1,且c与d反向答案:D3.设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是()A.B.=2C.=-D.=-2解析:=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2.答案:B4.已知a≠0,λ∈R,下列叙述中,正确的个数是()①λa∥a;②λa与a的方向相同;③是单位向量;④若|λa|>|a|,则λ>1.A.1B.2C.3D.4答案:B5.已知在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若=a,=b,则等于()A.a+bB.a-bC.a+bD.a-b解析:由题意可得=a-b.∵D是BC的中点,∴(a-b),同理(a-b),(a-b),∴=b+(a-b)=a+b.答案:C6.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则向量a+b+c等于()A.aB.bC.cD.0解析:因为a+b与c共线,所以有a+b=mc(m∈R).又b+c与a共线,所以有b+c=na(n∈R),即b=mc-a且b=-c+na.因为a,b,c中任意两个都不共线,则有所以b=mc-a=-c-a,即a+b+c=0,故选D.答案:D★7.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:上的单位向量,设为e1,上的单位向量,设为e2,则e1+e2的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ(e1+e2)的方向与e1+e2的方向相同,而由题意,得=λ(e1+e2),∴点P在向量所在的直线上移动.∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.答案:B8.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-8,-3,则的坐标为,长度为.答案:559.已知长度相等的三个非零向量满足=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是三角形.解析:如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则,∴=0,∴=-.∴O,F,C三点共线.∵四边形OAFB是菱形,∴CE垂直平分AB.∴CA=CB.同理,AB=AC.∴△ABC为等边三角形.答案:等边10.如图,在△OAB中,点C是点B关于点A的对称点,OD=2DB,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量;(2)若=λ,求实数λ的值.解:(1)依题意,得A是BC的中点,∴2,即=2=2a-b,∴=2a-b-b=2a-b.(2)∵=λ,∴=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.∵共线,且≠0,∴存在实数k,使=k,即(λ-2)a+b=k,解得λ=.∴实数λ的值为.★11.如图,在△ABC中,E为边AC的中点,试问在边AC上是否存在一点D,使得?若存在,说明点D的位置;若不存在,请说明理由.解:假设存在点D,使得.由,得)=,所以,即.又,所以,即在AC上存在一点D,使,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.
