18平面向量数量积习题课时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．2答案：A解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案：C解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a·b〉＝.3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是()A．(8，＋∞)B.C.D.∪(8，＋∞)答案：D解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－.又当t＝8时，两向量同向，应去掉，故选D.4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)答案：C解析：由向量的性质，知AD＝AB＋BC＋CD，其中AB与BC的夹角为60°，BC与CD的夹角为30°，AB与CD的夹角为90°，于是|AD|2＝|AB＋BC＋CD|2＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋2BC·CD＋2AB·CD＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD·AC的值等于()A．0B．4C．8D．－4答案：B解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则AD·AC＝AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.D.答案：C解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知向量a，b满足b＝(1，)，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________．答案：解析：＝＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影为：cos
＝＝.8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OB·AB的最小值为__________.答案：3解析：∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为__________.答案：解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝，所以|c|的最大值为直径.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知在四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状．解析：在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|2.又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．故四边形ABCD为平行四边形．另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC.综上，四边形ABCD是矩形．11．已知在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值．解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即AC·AB＝0，从而2＋3k＝0，解得k＝－；(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即AC·BC＝0，而BC＝AC－AB＝(－1，k－3)，故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝；(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即AB·BC＝0，而BC＝(－1，k－3)，故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝.综合可知，k＝－或k＝或k＝.12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．解析：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，a·b＝.∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝＝.(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，∴a·b的最小值为.设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cosγ.又|a|＝|b|＝1，∴＝1×1×cosγ，∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
