高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.3 待定系数法课堂探究 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题VIP专享VIP免费

2.2.3待定系数法课堂探究探究一用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；(2)根据题意列出关于k和b的方程组；(3)求出k，b的值，代入即可．【典型例题1】已知一次函数的图象与x轴交点的横坐标为－，并且当x＝1时，y＝5，则这个一次函数的解析式为__________．解析：设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点和(1,5)，则有解得所以y＝2x＋3.答案：y＝2x＋3探究二用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数解析式常见情形如下表：已知条件形式要确定的系数不同的三个点的坐标y＝ax2＋bx＋c(a≠0)a，b，c顶点坐标(h，k)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)a与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)a已知对称轴x＝hy＝a(x－h)2＋k(a≠0)a，k【典型例题2】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试求二次函数的解析式．解：方法1：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则解得所以f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法2：因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，又f(x)的最大值为8.所以可设f(x)＝a2＋8(a≠0)，则a2＋8＝－1，所以a＝－4.故f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法3：由f(2)＝f(－1)＝－1，知f(x)＋1＝0的两根分别为2和－1，可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，可得f(x)＝ax2－ax－2a－1.又f(x)max＝＝8，解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究三已知函数图象求函数解析式1．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值．【典型例题3】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．思路分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x≤1或x≥3时，函数解析式可设为y＝kx＋b(k≠0)；③当1≤x≤3时，函数解析式可设为y＝a(x－2)2＋2(a＜0)或y＝ax2＋bx＋c(a＜0)．解：设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0，x≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故解得k＝－1，b＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)．同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)．当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．方法一：设函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)．由点(1,1)在抛物线上，可知a＋2＝1，所以a＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．方法二：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a＜0,1≤x≤3)．因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有解得所以抛物线对应的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综上，函数的解析式为y＝探究四易错辨析易错点没有检验而导致失误【典型例题4】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，且f(x)在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f(x)的解析式．错解：根据f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，可设f(x)＝ax(x－5)(a≠0)．f(x)在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f(－1)＝12或f＝12，即6a＝12或－a＝12，解得a＝2或a＝－.综上可知，f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x或f(x)＝－x·(x－5)＝－x2＋x.错因分析：没有对a的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，可设f(x)＝ax(x－5)(a≠0)．f(x)在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f(－1)＝12或f＝12，即6a＝12或－a＝12，解得a＝2或a＝－.当a＝2时，满足题意；当a＝－时，二次函数的图象开口向下，不符合f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f(x)＝2x2－10x.点评在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万不要出现增解或漏解现象．