第4课时直线的方程(二)基础达标(水平一)1.下列说法正确的是().A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示【解析】当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确;当x1≠x2,y1≠y2时,由直线方程的两点式知选项B正确,故选B.【答案】B2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值等于().A.B.2C.D.4【解析】由题意知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则点A在过点B(a,0),C(0,b)的直线上,∵直线BC的方程为+=1,∴+=1,即+=.【答案】A3.过点M(1,-2)的直线与x轴,y轴分别交于P,Q两点,若M恰为线段PQ的中点,则直线PQ的方程为().A.2x+y=0B.2x-y-4=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0【解析】设点P的坐标为(x0,0),点Q的坐标为(0,y0),∵M(1,-2)为线段PQ的中点,∴x0=2,y0=-4,∴直线PQ的方程为+=1,即2x-y-4=0.【答案】B4.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,则被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是().A.x+2y+3=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x-2y-1=0【答案】D5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为.【解析】当直线过原点时,在两坐标轴上的截距均为0,满足题意.此时直线方程为y=2x.当直线不过原点时,可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数,且不为0.可设直线方程为+=1,即x-y=a.因为直线过点P(1,2),所以1-2=a,所以a=-1,直线方程为x-y+1=0.【答案】y=2x或x-y+1=06.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线的方程为.【解析】将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得直线的方程为y=-(x-1),即y=-x+.【答案】y=-x+7.已知直线过点P且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【解析】设直线方程为+=1(a>0,b>0),若满足条件(1),则a+b+=12.①又∵直线过点P,∴+=1.②由①②可得5a2-32a+48=0,解得或∴所求直线的方程为+=1或+=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12.③由题意得+=1.④由③④整理得a2-6a+8=0,解得或∴所求直线的方程为+=1或+=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为3x+4y-12=0.拓展提升(水平二)8.过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为().A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a.若a=0,则直线过原点,其方程为2x-5y=0.若a≠0,则设其方程为+=1.又点(5,2)在直线上,所以+=1,解得a=3.所以直线方程为x-y-3=0.综上所述,直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.【答案】C9.已知两条直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在直角坐标系中的位置如图所示,则().A.b>0,d<0,a0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a0,k2=->0,且k1>k2,∴a<0,c<0,且a>c.又直线l1的纵截距-<0,直线l2的纵截距->0,∴b<0,d>0,故选C.【答案】C10.过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程是.【解析】设直线的方程为+=1(a>0,b>0),则有+=1,所以a+b=(a+b)=5++≥5+4=9,当且仅当=,即a=3,b=6时等号成立,所以直线的方程为2x+y-6=0.【答案】2x+y-6=011.△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)分别求边AC和AB所在的直线方程;(2)求AC边上的中线BD所在的直线方程;(3)求AC边的中垂线所在的直线方程;(4)求AC边上的高所在的直线方程;(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程.【解析】(1)由A(0,4),C(-8,0)可得直线AC的截距式方程为+=1,即x-2y+8=0.由A(0,4),B(-2,6)可得直线AB的两点式方程为=,即x+y-4=0.(2)由中点坐标公式可得AC边中点D的坐标为(-4,2),所以直线BD的两点式方程为=,即2x-y+10=0.(3)因为直线AC的斜率kAC==,所以AC边的中垂线的斜率k=-2.又AC边中点D的坐标为(-4,2),所以AC边的中垂线方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.(4)AC边上的高线的斜率为-2,且过点B(-2,6),所以其点斜式方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.(5)AB的中点M(-1,5),AC的中点D(-4,2),所以直线DM的方程为=,即x-y+6=0.
