3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离【基础练习】1．(2019年辽宁大连双基训练)点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B．C．1D．【答案】B【解析】l：3y＝2，即y＝，故点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.故选B．2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【答案】B【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B．3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A．a>7B．a<－3C．a>7或a<－3D．a>7或－3
3，解得a>7或a<－3.4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝()A．0或B．或－6C．－或D．0或－【答案】B【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，所以m＝或m＝－6.5．(2019年河南驻马店期末)已知直线l过点A(－1,3)，直线l上任意一点到直线x－2y＋3＝0的距离都相等，则直线l的方程为____________．【答案】x－2y＋7＝0【解析】由题意得直线l与直线x－2y＋3＝0平行，所以直线l的斜率k＝.所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．【答案】2【解析】|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.7．直线l过原点且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．【解析】由题意可知，直线l的斜率一定存在．又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.由点(2,1)到l的距离为1，得＝1.解得k＝0或k＝.∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.8．求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．【解析】设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.由直线l与两条平行线的距离相等，得＝，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.【能力提升】9．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．2B．3C．3D．4【答案】B【解析】依题意知AB的中点M的轨迹为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0.由平行线间的距离公式，得＝，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0.由点到直线的距离公式，得AB的中点M到原点的距离的最小值为＝3.10．直线x－4y＋6＝0和8x＋y－18＝0与两坐标轴围成的四边形的面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】直线8x＋y－18＝0与x轴的交点为M，直线x－4y＋6＝0与y轴的交点为N，则|MN|＝＝，如图，由两点式可得直线MN的方程为4x＋6y－9＝0，由解得故两直线的交点P(2,2)．根据点到直线的距离公式可得点P到直线MN的距离为d＝＝＝.故S四边形OMPN＝S△OMN＋S△PMN＝.11．与直线5x＋12y－31＝0平行且距离为2的直线方程是________．【答案】5x＋12y－5＝0或5x＋12y－57＝0【解析】设所求直线方程是5x＋12y＋b＝0，由平行线间的距离是2，则2＝，解得b＝－5或b＝－57，故所求直线方程为5x＋12y－5＝0或5x＋12y－57＝0.12．直线l在两坐标轴上的截距相等且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．【解析】当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx(k≠0)，由点到直线的距离公式可得＝3，解得k＝－6±.故所求直线的方程为y＝x.当直线不经过坐标原点时，设所求方程为＋＝1，即x＋y－a＝0，由题意可得＝3，解得a＝1或a＝13.故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上可知，所求直线的方程为y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
