3．3．3点到直线的距离3．3．4两条平行直线间的距离课时分层训练1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B.C．1D.解析：选B点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，故选B.2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0B.C．3D．0或解析：选D点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，故选D.3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于()A．3B．4C．5D．6解析：选C设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.4．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为()A．(0，－2)B．(2,4)C．(0，－2)或(2,4)D．(1,1)解析：选C直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离是()A.B.C．4D．2解析：选B l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1与l2间的距离是d＝＝.6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是．解析： ＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝.答案：－3或7．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为．解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.答案：8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是．解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝09．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．解：解法一： 点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，得＝，解得k＝0或k＝1.∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.解法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等． AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，∴直线l的方程是x－y＋2＝0；当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． 直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b，0)，C(0，b)．∴|AD|＝，|BC|＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形的面积公式得×＝4，∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B.C.D.解析：选D 3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，故选D.2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是()A．0＜d≤3B．0＜d≤5C．0＜d＜4D．3≤d≤5解析：选B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5.3．如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1.又1<＝，所以满足条件的点P有1个．4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A．2B.C.D．2解析：选B将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值...
