3.2.2直线的两点式方程【基础练习】1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．2．直线＋＝1过第一、二、三象限，则()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0【答案】C【解析】因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b且经过第一、二、三象限，所以a<0，b>0.3．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．y＝3x－8B．y＝－3x－4C．y＝3x＋6D．y＝－3x－2【答案】B【解析】kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为y＝－3x－4.4．已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为()A．y＝－2x＋8B．y＝2x＋8C．y＝－2x＋12D．y＝2x－12【答案】A【解析】由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即y＝－2x＋8.5．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．【答案】12【解析】AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.6．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________．【答案】＋＝1【解析】设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l的方程为＋＝1.7．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1且过点(6，－2)，求直线l的方程．【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y＋2＝k(x－6)(k≠0)．令x＝0，得y＝－6k－2；令y＝0，得x＝＋6.于是－(－6k－2)＝1，解得k＝－或k＝－.故直线l的方程为y＋2＝－(x－6)或y＋2＝－(x－6)，即y＝－x＋2或y＝－x＋1.方法二：设直线l的截距式方程为＋＝1，∵直线l过点(6，－2)，∴＋＝1，解得b1＝1，b2＝2.∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.8．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程．【解析】由已知，直线AB的斜率k＝＝.因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为.因为△CEF的面积是△CAB面积的且△CEF∽△CAB，所以△CEF与△CAB的相似比是，即＝，所以E是CA的中点．点E的坐标是.所以直线l的方程是y＝x＋.【能力提升】9．(2019年江西南昌校级模拟)已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1【答案】C【解析】由中点坐标公式得线段MN的中点是，kMN＝，所以＋0＝1且＝2，解得m＝3.故选C．10．过点P(－2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有()A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】B【解析】由题意可设直线l的方程为＋＝1(a<0，b>0)，于是解得故满足条件的直线l一共有1条．11．由一条直线2x－y＋2＝0与两坐标轴围成一直角三角形，则该三角形外接圆半径为________．【答案】【解析】因为所围成的直角三角形的斜边长为该三角形的外接圆的直径，该直线在两坐标轴上的截距分别为－1和2，所以该直角三角形的斜边长为＝，所以外接圆的半径r＝.12．如图所示，已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积最小时l的方程．【解析】设A(a,0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，则直线l的方程为＋＝1，∵P(3,2)在直线l上，∴＋＝1，于是b＝.∴S△ABC＝ab＝，整理得a2－S△ABC·a＋3S△ABC＝0(*)．∵此方程有解，∴Δ＝S－12S△ABC≥0.又S△ABC>0，∴S△ABC≥12，S△ABC最小值＝12.将S△ABC＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4.此时直线l的方程为＋＝1.
