4．2换底公式课时跟踪检测一、选择题1．对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①②③④解析：在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义；在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N；在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时；在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义．所以，只有②成立．答案：C2．log227·log34＝()A．B．2C．3D．6解析：log227·log34＝·＝＝6.答案：D3．若lgx－lgy＝a，则lg－lg＝()A．3aB．aC．aD．解析：∵lgx－lgy＝a，∴lg－lg＝3(lgx－lg2)－3(lgy－lg2)＝3(lgx－lgy)＝3a.答案：A4．已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则的值为()A．1B．4C．1或4D．4或－1解析：由题意得lg(x－2y)2＝lg(xy)，(x－2y)2＝xy，x2－4xy＋4y2＝xy，x2－5xy＋4y2＝0，(x－y)(x－4y)＝0，x＝y或x＝4y，又x>2y，∴x＝4y，＝4.答案：B5．计算：log62·log618＋(log63)2的值为()A．1B．2C．3D．4解析：log62·log618＋(log63)2＝log62(log63＋1)＋(log63)2＝log63log62＋log62＋(log63)2＝log63(log62＋log63)＋log62＝log63＋log62＝1.答案：A6.－＝()A．lgB．1C．－1D．lg解析：－＝lg5－1－|lg2－1|＝lg5－1＋lg2－1＝lg10－2＝1－2＝－1.答案：C二、填空题7．已知lnx＝2＋ln，则x＝________．解析：lnx＝2＋ln2－lnx，∴2lnx＝2＋ln2，2lnx＝2lne＋ln2，2lnx＝ln(2e2)，lnx＝ln(2e2)＝ln(e)．∴x＝e.答案：e8．若a＝log43，则4a－4－a＝________．解析：∵a＝log43，∴4a－4－a＝4log43－4－log43＝3－＝.答案：9．设lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值等于________．解析：由题意得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，∴＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×＝4－2＝2.答案：2三、解答题10．计算：27－2log23×log2＋2lg(＋)．解：27－2log23×log2＋2lg(＋)＝33×－2log23×log22－3＋lg(＋)2＝32－3×(－3)＋lg(6＋4)＝9＋9＋1＝19.11．设lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log4的值．解：要使对数有意义，则∴a>2b>0.由lga＋lgb＝2lg(a－2b)，得lg(ab)＝lg(a－2b)2，∴ab＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2，即a2－5ab＋4b2＝0.两边同除以b2，得－5＋4＝0，解得＝1(舍去)或＝4.∴log4＝log44＝1.12．(1)计算：(lg5)2＋lg2·lg50；(2)设3x＝4y＝36，求＋的值．解：(1)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)＝(lg5)2＋lg2lg5＋lg2＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)由3x＝4y＝36，得x＝log336，y＝log436，从而＋＝＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.13．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，则原方程化为2t2－4t＋1＝0.∴t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)＝＝(lga＋lgb)·＝2×＝12.即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
