3.1.2用二分法求方程的近似解课时过关·能力提升基础巩固1.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是()答案:A2.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:令f(x)=ex-x-2,则f(1)·f(2)=(e-3)·(e2-4)<0,故选C.答案:C3.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)内有一个零点x0,且f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f(a+b2)=0时,则函数f(x)的零点是()A.(a,b)外的点B.x=a+b2C.区间(a,a+b2)或(a+b2,b)内的任意一个实数D.x=a或x=b答案:B4.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,41C.5,4D.4,3答案:D5.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:f(-1)=-52<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选(1,2).答案:C6.已知函数f(x)的图象是连续不断的,f(1)·f(2)<0,用二分法求f(x)在(1,2)内的零点时,第一步是.答案:计算区间(1,2)的中点c=1+22=327.方程2x-x3=0的一个近似解为.(精确到0.1)答案:1.4(答案不唯一)8.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]上的实数根时,如果取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是.解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0,f(3)=16>0,f(2.5)=5.625>0.故下一个有根区间为(2,2.5).答案:(2,2.5)9.求方程lnx+x-3=0在(2,3)内的近似解.(精确度0.1)解:令f(x)=lnx+x-3,求函数f(x)=0在(2,3)内的零点.∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.416(2,2.5)2.250.061(2,2.25)2.125-0.121(2.125,2.25)2.1875-0.030又2.25-2.1875=0.0625<0.1,∴在区间(2.1875,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为2.25.10.在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量稍小),现在只有一台天平(无砝码),请你用二分法的思想找到这枚假币.解:第一次在天平的两端各放入13枚金币称重,选出较轻一端的13枚,继续称;第二次两端各放6枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的6枚继续称;第三次两端各放3枚,选出较轻的3枚继续称;第四次两端各放1枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币.能力提升1.若函数f(x)唯一的零点在区间(0,8),(0,6),(0,4),(0,2)内,则下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点2B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间[2,8)内无零点D.函数f(x)在区间(1,8)内有零点答案:C2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据见下表:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈-0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.248B.1C.1.4375D.1.5答案:C3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.答案:(0,0.5)f(0.25)4.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即得出方程的一个近似解为.(精确度0.1)解析:因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取0.75或0.6875.答案:0.75或0.6875★5.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)内有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为.解析:设等分的最少次数为n,则由0.12n<0.01,得2n>10,故n的最小值为4.答案:46.求函数f(x)=x3-x-1在(1,1.5)内的零点(精确度0.1).解:f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(1,1.5)1.25-0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125-0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数的一个近似零点为x=1.3125.★7.求3√2的值(精确度0.01).分析设x=3√2,转化为求函数f(x)=x3-2的零点.3解:设x=3√2,则x3=2,即x3-2=0,令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是3√2的近似值,以下用二分法求其零点.由f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.51.375(1,1.5)1.25-0.0469(1.25,1.5)1.3750.5996(1.25,1.375)1.31250.2610(1.25,1.3125)1.281250.1033(1.25,1.28125)1.2656250.0273(1.25,1.265625)1.2578125-0.0100由于1.265625-1.2578125=0.0078125<0.01,所以1.265625是函数f(x)的零点的近似值,即3√2的近似值是1.265625.45
