3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课时过关·能力提升基础巩固1.下列图象表示的函数中没有零点的是()解析:若函数的图象与x轴有交点,则函数有零点;反之,函数无零点.答案:A2.函数f(x)=x3+3x-1在以下哪个区间内一定有零点()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析: f(-1)=-5<0,f(0)=-1<0,f(1)=3>0,∴f(0)·f(1)<0,∴函数f(x)在区间(0,1)内一定有零点.答案:B3.方程(13)x-x=0的解有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:设g(x)=(13)x,h(x)=x,在同一坐标系中,画出函数g(x)和h(x)的图象,如图所示,g(x)和h(x)的图象仅有一个交点,则方程(13)x-x=0仅有一个解.答案:B4.已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)解析:由题意知f(1)=61-log21=6>0,f(2)=62-log22=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0.故f(2)·f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).答案:C5.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A.0B.1C.2D.31解析:在同一坐标系内,作出p(x)=|x-2|,q(x)=lnx的图象,如图所示.由图象可知p(x),q(x)的图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.答案:C6.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=lnx+x-4,则f(1)=-3<0,f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(4)=ln4>0,则x0∈(2,3).答案:C7.若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=f(4x)-x的零点是.解析:g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x.令4x-14x-x=0,解得x=12,则函数g(x)的零点是x=12.答案:x=128.已知函数f(x)=√x+m的零点是2,则2m=.解析: f(x)的零点是2,∴f(2)=0,∴√2+m=0,解得m=-2.∴2m=2-2=14.答案:149.函数f(x)={x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为.解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2,所以原函数有2个零点.答案:210.求下列函数的零点:(1)f(x)=5x-3;(2)f(x)=(x-1)(x2-4x+3)x-3;(3)f(x)=x7-2.解:(1)令5x-3=0,则5x=3,解得x=log53,即函数f(x)的零点是x=log53.2(2)令(x-1)(x2-4x+3)x-3=0,解得x=1,即函数f(x)的零点是x=1.(3)令x7-2=0,解得x=7√2,即函数f(x)的零点是x=7√2.能力提升1.设函数y=x3与y=(12)x-2的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:令f(x)=x3-(12)x-2,则f(0)=0-(12)-2=-4<0,f(1)=1-(12)-1=-1<0,f(2)=23-(12)0=7>0,f(3)=27-(12)1=2612>0,f(4)=43-(12)2=6334>0,故f(1)·f(2)<0,即x0所在的区间是(1,2).答案:B★2.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0解析:易知函数f(x)=2x+11-x在(1,+∞)上是增函数,且f(x0)=0,故当x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,f(x1)<0,f(x2)>0.答案:B3.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为()A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能解析:由于二次函数f(x)的二次项系数1>0,且f(m)<0,则二次函数f(x)存在两个零点,则1-4a>0,即a<14.设f(x)的两个零点为x1,x2,且x1
0,x10.答案:A34.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是()A.a<α1,即a<-1.答案:(-∞,-1)6.已知函数f(x)={x3,x≤a,x2,x>a.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[...
