第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系[A基础达标]1.下列说法中正确的个数是()①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.A.1B.2C.3D.4解析：选B.根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B.2.函数f(x)＝x3－4x的零点为()A.(0，0)，(2，0)B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)C.－2，0，2D.0，2解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.3.函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去).即x＝2或x＝－2，所以函数的零点个数为2个.故选B.4.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()A.B.RC.D.∅解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.5.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A.由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).6.函数f(x)＝2019x＋1的零点为.解析：令f(x)＝0，则x＝－.答案：－7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是.解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1].答案：(－∞，1]9.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).10.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；由Δ＝0，可解得m＝；由Δ＜0，可解得m＞.故当m＜时，函数有两个零点；当m＝时，函数有一个零点；当m＞时，函数无零点.(2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.[B能力提升]11.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)B.(－4，4)C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.[－4，4]解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.12.一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是()A.B.(－∞，－5)C.D.解析：选C.关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则解得－≤m＜－5.故选C.13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A.a＜α＜β＜bB.a＜α＜b＜βC.α＜a＜b＜βD.α＜a＜β＜b解析：选A.因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.14.若函数f(x)＝2ax2＋x－在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.解：当a＝0时，f(x)＝x－，零点x＝∈(0，1)，...
