第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列说法中正确的有()①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．A．①③B．②④C．①④D．②③答案B解析根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B.2．函数f(x)＝x2－x－1的零点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案C解析Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，所以方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．3．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－，－1B.，1C.，－1D．－，1答案B解析方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.4．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．3答案C解析因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.5．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为()A．(－∞，a)∪B．(a，＋∞)C.∪(a，＋∞)D.答案A解析∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)>0.又a<－1，∴>a，由函数f(x)＝(x－a)·的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a)∪.二、填空题6．函数f(x)＝的零点为________．答案2，－解析当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由2x2－3x－2＝0，得x＝－或2(舍去)．故函数f(x)的零点是2，－.7．已知函数f(x)＝ax2－5x＋2a＋3的一个零点为0，则f(x)的单调递增区间为________．答案解析由已知，得f(0)＝2a＋3＝0，∴a＝－，∴f(x)＝－x2－5x，∴f(x)的单调递增区间为.8．已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数最多为________．答案4解析令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．由图可知当a＋2>9，即a>7时，两函数图像有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图像有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当0
0.又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，∴所求不等式的解集为.10．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图像，并写出f(x)≥0的解集；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.因此3和－1都是函数f(x)的零点，其图像如图所示．由图可知，f(x)≥0的解集为{－1}∪[3,4]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点．由(1)所作图像可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．B级：“四能”提升训练1．设函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．解(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，由函数f(x)的图像可得所求不等式的解集为(－∞，0)∪.(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，因此⇒m＝－.2．已知关于x的函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．解(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点；当m＋6≠0，即m≠－6时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－.∴当m≤－且m≠－6时，二次函数恒有零点．综上，m≤－.故m的取值范围是.(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.
