第2课时零点的存在性及其近似值的求法A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3答案D解析由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点答案C解析利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C正确．3．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)<0，f(2.5)>0，f(2.25)<0，则方程的解所在的区间为()A．(2.25,2.5)B．(2,2.25)C．(2.5,3)D．不能确定答案A解析由于f(2.25)f(2.5)<0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是答案D解析根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在或内，或零点是.5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为()A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375答案D解析由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.二、填空题6．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案4解析设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案(2,3)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．8．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．答案④解析 f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.三、解答题9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1. f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差小于的值(2,3)＝2.5f(2.5)＝0．25>00.5(2,2.5)＝2.25f(2.25)＝－0.4375<00.25(2.25，2．5)＝2.375f(2.375)＝－0.109375<00.125(2.375，2．5)＝2.4375—0.0625 |2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.10．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0....
