第1课时函数的概念[A基础达标]1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是()A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→解析：选C.对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．2．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图像是()解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选C.3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝x2＋1解析：选B.y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．4．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.由题意知f(－2)＝＝＝1.故选C.5．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为()A．{－2，0，4}B．{－2，0，2，4}C．{y|y≤－}D．{y|0≤y≤3}解析：选A.依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．6．将函数y＝的定义域为________．解析：由解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．答案：(－∞，0)∪(0，1]7．若f(x)＝，且f(a)＝2，且a＝________．解析：令＝2，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2，故a的值为或2.答案：或28．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．答案：{1，2，3，4}9．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．(1)求f(2)，g(3)的值；(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，f(g(x))＝＝＝(x≠0)．10．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．解：函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝＝1，函数定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.[B能力提升]11．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于()A．p＋qB．3p＋2qC．2p＋3qD．p3＋q2解析：选B.因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.12．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．解析：由题意，得即－1≤x≤1.故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．答案：[－1，1]13．求下列函数的值域．(1)y＝－1(x≥4)；(2)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(3)y＝x＋；(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1，2])．解：(1)因为x≥4，所以≥2，所以－1≥1，所以y∈[1，＋∞)．(2)y＝{3，5，7，9，11}．(3)设u＝，则u≥0，且x＝，于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，所以y＝x＋的值域为.(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，因为x∈[－1，2]，作出其图像(图略)可得值域为[－4，0]．14．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，求f(－1)，f(f(－1))的值及f(f(x))的表达式．解：由题意知解得所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1，f(f(－1))＝－1，f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.[C拓展探究]15．(2019·石家庄检测)已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现．(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f＋f(2019)＋f的值．解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1.(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值．(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，因为f(1)＋f(1)＝1，f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…f(2018)＋f＝1，f(2019)＋f＝1，所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2017)＋f＋f(2018)＋f＋f(2019)＋f＝2019.
