一元二次不等式的应用A级基础巩固一、选择题1．设集合P＝{m|－4＜m＜0}，Q＝{mx2－mx－1＜0，x∈R}，则下列关系式成立的是()A．PQB．QPC．P＝QD．P∩Q＝Q解析：对Q：若mx2－mx－1＜0对x∈R恒成立，则：①当m＝0时⇒－1＜0恒成立．②当m≠0时⇒解得－4＜m＜0.由①②得Q＝{m|－4＜m≤0}，所以PQ.答案：A2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为()A．－1
0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－1，2)解析：x＝1为ax－b＝0的根，所以a－b＝0，即a＝b，因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，故＝>0，转化为(x＋1)(x－2)>0.所以x>2或x<－1.答案：C二、填空题6．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的取值范围为________．解析：①若m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1，m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，m＝－1时，原式不恒成立，故m≠－1.②若m2－2m－3≠0，则解得－0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________．解析：因为(x－a)(x＋1)>0与>0同解，所以(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，所以4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，所以a＝4.答案：48．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．解析：若二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则解得－400，解得15≤x<20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订这批台灯的销售价格区间为x∈[15，20)．10．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈[0，2]，均有不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．解：因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．所以即解得a≥.故a的取值范围为.B级能力提升1．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1，3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，可得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0，解得x<1或x>3.答案：C2．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1，3)恒成立，则a的取值范围是________．解析：原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1，3)恒成立，设f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1，3]上的最小值为f(3)＝5.所以a∈(－∞，5]．答案：(－∞，5]3．设g(x)＝x2－mx＋1.(1)若≥0对任意x>0恒成立，求实数m的取值范围；(2)讨论关于x的不等式g(x)≥0的解集．解：(1)由题意，若≥0对任意x>0恒成立，即为x－m＋≥0对x>0恒成立，即有m≤x＋的最小值，由x＋≥2，可得x＝1时，取得最小值2，可得m≤2；(2)当Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2时，g(x)≥0的解集为R；当Δ>0，即m>2或m<－2时，方程x2－mx＋1＝0的两根为，，可得g(x)≥0的解集为(－∞，]∪[，＋∞)．
