3.2简单的三角恒等变换【基础练习】1．(2018年云南玉溪模拟)函数y＝1－2sin2是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数【答案】B【解析】因为函数y＝f(x)＝1－2sin2＝cos2＝－sin2x，x∈R，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝π，且f(－x)＝－sin2(－x)＝sin2x＝－f(x)，所以f(x)是定义域R上的奇函数．故选B．2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝()A．－2B．－1C．0D．1【答案】B【解析】f(－1)＝f＝sin2＝sin＝－1.3.·＝()A．tanαB．tan2αC．1D．【答案】B【解析】原式＝＝＝＝tan2α.4．y＝sinxcosx＋sin2x可化为()A．sin＋B．sin－C．sin＋D．2sin＋1【答案】A【解析】y＝sin2x＋＝sin2x－cos2x＋＝＋＝sin＋.5．若cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】cos(75°＋α)＝，可得sin(15°－α)＝.cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×＝.故选C．6．已知sinθ＝，θ∈，则cos＝___________.【答案】【解析】∵θ∈，∴∈.∴cosθ＝－＝－.∴cos＝＝.7．已知α∈，tan＝，则sinα＋cosα＝________.【答案】【解析】∵tan＝，∴＝，解得tanα＝.∵α∈，sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝.∴sinα＋cosα＝＋＝.8．已知a＋b＝sin，a－b＝sin，求证：a2＋b2＝1.【证明】∵a＋b＝sin＝sinθ＋cosθ，a－b＝sin＝sinθ－cosθ，∴a＝sinθ，b＝cosθ，∴a2＋b2＝1.∴原等式成立．9．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．【解析】∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝＝.又0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.若0<α＋β<，∵>，即sinα>sin(α＋β)，∴α＋β<α，不符合题意．∴<α＋β<π.∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.而0<β<，0<<，∴cos＝＝.【能力提升】10．(2019年河北模拟)已知函数f(x)＝2sinsin(ω>0)，若函数g(x)＝f(x)＋在上有且只有三个零点，则ω的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】sin＝cos＝cos＝cos，所以f(x)＝2sincos＝sin.令g(x)＝f(x)＋＝0，得sin＝－.由x∈，得2ωx－∈，函数g(x)的零点应满足2ωx－＝－，，，，…，由g(x)在上有且只有三个零点，可得≤ωπ－<，解得2≤ω<.故选A．11．(2019年江西萍乡模拟)函数f(x)＝cossin2x－的图象的一个对称中心的坐标是()A．B．C．D．【答案】A【解析】f(x)＝cossin2x－＝sin2x－＝sin2xcos2x＋sin22x－＝sin4x＋(1－cos4x)－＝＝sin，令4x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，取k＝1得函数f(x)图象的一个对称中心坐标是.故选A．12．若α－β＝，则sinαsinβ的最大值为________．【答案】【解析】α＝β＋，则sinαsinβ＝sinsinβ＝(sin2β＋sinβcosβ)＝(1－cos2β＋sin2β)＝sin＋，∴最大值为.13．(2019年安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－.(1)若函数f(x)在上的值域为[－，2]，求m的最小值；(2)在△ABC中，f＝2，sinB＝cosC，求sinC．【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin.因为x∈，所以2x＋∈.结合y＝2sinx的图象可得－≤2m＋≤，解得－≤m≤，即m的最小值为－.(2)由f＝2sin＝2，可得sin＝1，所以＋＝2kπ＋，即A＝4kπ＋(k∈Z)．又A是△ABC的内角，所以A＝.所以sinB＝sin＝cosC，化简整理得cosC＝sinC．所以sin2C＋2＝1，得sin2C＝.又C是△ABC的内角，所以sinC>0，则sinC＝.
