第三章3.13.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式A级基础巩固一、选择题1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(B)A．f(x)在(，)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[解析]因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B．2.－sin215°的值是(D)A．B．C．D．[解析]原式＝－＝＝．3.＋2的化简结果是(A)A．2cos4－4sin4B．2sin4C．2sin4－4cos4D．－2sin4[解析]原式＝＋2＝·＋2＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4．4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(A)A．－B．－C．D．[解析]sin4α－cos4α＝－(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－．5．若α∈，则＋的值为(D)A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin[解析]∵α∈，∴∈，∴原式＝＋＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin．6．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝(A)A．B．C．D．[解析]本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝，则cos2θ＝．[解析]cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝．8.＝．[解析]原式＝×＝tan(2×)＝tan＝．三、解答题9．求值：sin50°(1＋tan10°)．[解析]原式＝sin50°(1＋)＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1．10．(2018·江苏卷，16)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－．(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解析](1)解：因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα．因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2．因为tanα＝，所以tan2α＝＝－．因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．B级素养提升一、选择题1．若＝－，则cosα＋sinα的值为(C)A．－B．－C．D．[解析]＝＝＝－(cosα＋sinα)＝－．∴sinα＋cosα＝．2．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(B)A．B．C．D．－1[解析]sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝．3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(C)A．B．C．－D．－[解析]本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝两边平方可得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝．将左边分子分母同除以cos2α得，＝，解得tanα＝3，∴tan2α＝＝＝－．4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝(B)A．－B．－C．D．[解析]cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2cos2[－(－α)]－1＝2sin2(－α)－1＝－1＝－．二、填空题5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于．[解析]由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∵α∈(0，)，∴cosα＝，∴α＝，∴tanα＝tan＝．6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝－．[解析]由题意sin2α＝，∴tan2α＝－．∴tan(＋2α)＝＝＝－．三、解答题7．已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．(1)求sinα＋cosα的值；(2)求的值．[解析](1)∵m与n为共线向量，∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝．(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，∴sin2α＝－．∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝．又∵α∈[－，0]，∴sinα－cos<0，sinα－cosα＝－．因此，＝．8．(广东高考)已知tanα＝2．(1)求tan(α＋)的值；(2)求的值．[解析](1)tan(α＋)＝＝＝－3．(2)＝＝＝＝＝1．C级能力拔高已知sin(－x)＝，x∈(0，)，求的值．[解析]∵x∈(0，)，∴－x∈(0，)，又∵sin(－x)＝.∴cos(－x)＝，又cos2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)＝2××＝．cos(＋x)＝sin[－(＋x)]＝sin(－x)＝，∴原式＝＝．
