高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.解析：y=sin2xcos2x=sin4x,所以最小正周期为T==.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2sin2x+2,所以f(x)=2x2+2.因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x.答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin=8∶5，则cosα的值为()A.B.C.D.解析：由=2cos=，得cos=，cosα=2cos2-1=2×()2-1=.答案：C4.求下列各式的值：(1)coscos=______________；(2)(cos-sin)(cos+sin)=______________；(3)-cos2=______________；(4)-+cos215°=______________；(5)=_________________解析：(1)原式=cossin=sin=；(2)原式=cos2-sin2=cos=；(3)原式=(2cos2-1)=cos=；(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=；(5)原式=tan45°=.答案：(1)(2)(3)(4)(5)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若tanx=2，则tan2(x-)等于()A.B.-C.D.解析：tan(2x-)=-tan(-2x)=-cot2x=,而tan2x==-,∴原式=.答案：C2.当0＜x＜时，函数f(x)=的最小值为()A.2B.C.4D.解析：f(x)==+4tanx≥=4，当且仅当tanx=时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________.解析：原式==.答案：4.在△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB且sinAcosA=，判断三角形的形状.解：由sinAcosA=，得sin2A=，即sin2A=，∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形.5.平面上两塔相距120m，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为xm、ym，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°，∠AMB=∠MCD=θ，所以x=60tanθ，y=，x=120tanα，y=120tan2α.所以解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90m和40m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=，(1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-，求f(α)的值.解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+(k∈Z).故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.(2)因为tanα=,cosα=，且α为第四象限的角，所以sinα=,cosα=.故f(α)===2(cosα-sinα)=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知θ是第三象限的角，若sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于()A.B.C.D.-解析：(sin2θ+cos2θ)2=sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=sin4θ+cos4θ+(sin2θ)2，而(sin2θ+cos2θ)2=1，可以得到sin2θ=±，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=.答案：A2.已知tanα=，tanβ=，0＜α＜β＜,则α+2β等于()A.B.C.或D.解析：∵tan2β=，∴tan(α+2β)==1.∵tanα=＜1,∴0＜α＜.tan2β=＜1,∴0＜2β＜.∴0＜α+2β＜.∴α+2β=.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+)cos(x-)+sin2x的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos-sinxsin)(cosxcos-sinxsin)+sin2x=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T==π.4.化简.解：原式==|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°.5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=cos20°cos40°cos80°==.6.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0,)，求sinα,tanα.解：由题意知4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，即2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.又α∈(0,)，∴sinα+1≠0,cos2α≠0.由2sinα-1=0得sinα=，∴α=,tanα=.7.已知sin(α-)=，cos2α=，求sinα及tan(α+).解：由sin(α-)=,得(sinα-cosα)=，即sinα-cosα=.①又由cos2α=得cos2α-sin2α=，即(cosα+sinα)(cosα-sinα)=，∴cosα+sinα=-.②由①②得sinα=，cosα=,∴tanα=-.tan(α+)=.8.当x∈［-,］时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期、最大值及此时的x值.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2.周期T=π.当x∈［-,］时，2x+∈［-,］,sin(2x+)∈［-1,1］.∴f(x)∈［,］.∴f(x)max=.由2x+=2kπ+得x=kπ+.又∵x∈［-,］，∴x=,即当x=时，f(x)的最大值为.9.(2006高考安徽卷，理17)已知＜α＜π,tanα+cosα=.(1)求tanα的值；(2)求的值.解：(1)∵tanα+cosα=,∴3tan2α+10tanα+3=0,解得tanα=-或tanα=-3.∵＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-.(2)∵tanα=-,∴=.10.(2006高考四川卷，理17)已知A、B、C是△ABC三内角，向量m=(-1,)，n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求角A；(2)若=-3，求tanC.解：(1)∵m·n=1,∴(-1,)·(cosA,sinA)=1,即sinA-cosA=1,2(sinA·-cosA·)=1,sin(A-)=.∵0＜A＜π,-＜A-＜,∴A-=.∴A=.(2)由题知=-3，整理得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0.∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0.∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos2B-sin2B=0，舍去.∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=.