3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）课后集训基础达标1.sin(24°+x)cos(21°-x)+cos(24°+x)cos(69°+x)的值是（）A.1B.C.-D.无法确定解析：原式=sin(21°+x)cos(21°-x)+cos(24°+x)cos(90°-21°＋x)=sin(24°+x)cos(21°-x)+cos(24°+x)sin(21°-x)=sin45°=,∴应选B.答案：B2.在△ABC中,若cosA=,cosB=,则cosC的值是（）A.B.C.或D.解析：cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB.在△ABC中,∵cosA=,∴sinA=.∵cosB=,∴sinB=.则cosC=-×+×=.∴应选A.答案：A3.cos75°-cos15°的值等于()A.B.-C.-D.解析：cos75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°-cos45°cos30°-sin45°sin30°=-2sin45°sin30°=-.∴应选C.答案：C4.已知0＜α＜＜β＜π,又sinα＝,cos(α+β)=-,则sinβ等于（）A.0B.0或C.D.0或-解析：∵0＜α＜,sinα=,∴cosα=.∵0＜α＜,＜β＜π,∴＜α+β＜.又∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=±.∵sinβ=sin［(α+β)-α］=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα＝±×-(-)×=或0,∴应选B.答案：B5.cos-sin的值是（）A.0B.-2C.2D.2解析：原式=2(cos-sin)=2(sincos-cossin)=2sin(-)=,∴应选C.答案：C6.已知sinα=-,α∈(π,3),cosβ=,β∈(,2π),则α+β是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：cosα=,sinβ=,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=·+()·(-)=＞0.∵α+β∈(),∴α+β位于第二象限.答案：B综合运用7.在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形解析：原式为sin(A-B+B)≥1,即sinA≥1,∵sinA≤1,∴sinA=1,∴A=90°.答案：C8.若3sinx-cosx=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于（）A.-B.C.D.-解析：由于3sinx-cosx=2(sinx-cosx)=2(sinxcos-sincosx)=23［sinxcos(-)+sin(-)cosx］=2Vsin［x+(-)］.∴φ=-,应选A.答案：A9.若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则=______________.解析：根据问题已知条件可先化弦,有=,只须求出sinαcosβ、cosα、sinβ问题即可得解:∵∴解得sinαcosβ=,cosαsinβ=,则有==×5=.答案：拓展探究10.已知tan(α+β)=2tanβ,求证:3sinα=sin(α+2β).思路分析：观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名称的差异是正弦与正切,可考虑切割化弦法化异为同.(2)角的差异是α+β,β;α,α+2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下:(α+β)-β=α;(α+β)+β=α+2β,由此可化异为同.证明:由已知tan(α+β)=2tanβ可得.∴sin(α+β)·cosβ=2cos(α+β)·sinβ而sin(α+2β)=sin［(α+β)+β］=sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ=2cos(α+β)·sinβ+cos(α+β)·sinβ=3cos(α+β)·sinβ.又sinα=sin［（α+β)-β］=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ=2cos(α+β)·sinβ-cos(α+β)·sinβ=cos(α+β)·sinβ故sin(α+2β)=3sinα.备选习题11.已知sinα=,sinβ＝,则sin(α+β)sin(α-β)=____________.解析：sin(α+β)sin(α-β)＝（sinαcosβ+cosαsinβ）(sinαcosβ-cosαsinβ)＝(sinαcosβ)2-(cosαsinβ)2=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=×(1)-(1-)×=.答案：12.已知sinα-cosβ=,cosα-sinβ=,则sin(α+β)=_____________,解析：由sinα-cosβ=,两边平方得：sin2α-2sinαcosβ+cos2β=.①由cosα-sinβ=两边平方得：cos2α-2cosαsinβ+sin2β=.②由①+②得：2-2sin(α+β)=.解为：sin(α+β)=.答案：13.已知sinα=,cosβ=,α、β均在第二象限，求sin(α+β)和sin(α-β)的值.解：∵sinα=,cosβ=,α、β为第二象限角，∴cosα=，sinβ=.故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×()+()×=.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×(-)-(-)×=.14.已知tanα=,π＜α＜2π,求cos(-α).解析：由tanα=＜0,π＜α＜2π,∴＜α＜2π.由1+tan2α=,得＝1+()2=.∴cos2α=.∵3π2＜α＜2π,cosα=.由sinα=,∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=×+×(-)=.15.化简:sin(x+)+2sin(x-)-3cos(-x).解法1:原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sinsinx=sinx-cosx+cosx-sinx=0.解法2:原式=sin(x+)+cos(x+)+2sin(x-)=2［sin(x+)·+cos(x+)·］+2sin(x-)=2sin(x++)+2sin(x-)=2sin(-x)+2sin(x-)=0.16.已知0＜β＜,＜α＜,cos(-α)=，sin(+β)=,求sin(α+β)的值.思路分析：注意(+β)-(-α)=+(α+β),可通过求出+β和-α的正、余弦值来求sin(α+β).解：∵＜α＜,∴-＜-α＜0.∴sin(-α)=.又∵0＜β＜,∴＜+β＜π.∴cos(+β)=.sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)=-(-)×-×（-）=.
