3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos（α+β）=，cos（2α+β）=，那么cosα的值是（）A.B.-C.D.-解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，）.又cos（α+β）=，cos（2α+β）=，∴sin（α+β）=，sin（2α+β）=，cosα=cos［（2α+β）-（α+β）］=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）=×+×=.∴选A.答案：A2.当-≤x≤时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A.最大值是1，最小值是-1B.最大值是1，最小值是-C.最大值是2，最小值是-D.最大值是2，最小值是-1解析：f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）.∵-≤x≤，∴-≤x+≤.从而-1≤2sin（x+）≤2.∴选D.答案：D3.若（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，tanαtanβ≠-1,则tan（α-β）的值为（）A.B.C.4D.12解析：∵（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，tanαtanβ≠-1，∴4tanα-4tanβ=16+16tanαtanβ.∴=4=tan（α-β）.∴选C.答案：C4.在△ABC中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：sinC=sin［π-（A+B）］=sin（A+B），∴2cosB·sinA=sin（A+B）.∴可得sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C.答案：C5.sin15°sin75°的值是_________________.解析：原式=sin（45°-30°）sin（45°+30°）=（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°）=（）×（）=.答案：6.的值为_________________.解析：原式=答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=sin56°的大小关系是（）A.a=bB.a＜bC.a＞bD.a≤b解析：化简a=sin（12°+45°）=sin57°，∴a＞b.答案：C8.在△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC等于（）A.B.C.或D.解析：cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=，所以A必为锐角，所以sinA=.因为sinB=，若B为钝角，则＜B＜，＜A＜，所以13[]12π＜A+B＜π，所以B不可能为钝角，故B必为锐角.所以cosB=，则cosC=-·+·=.答案：A9.如下图，△ABC中，∠BAC=45°，BC边上的高AD将BC分成2cm和3cm两段，求△ABC的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt△ADB中，tanα=.在Rt△ADC中，tanβ=.tan45°=即=1.解这个方程，得x=6或x=-1（舍），故S△ABC=×5×6=15（cm2）.拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=①，tan·tanβ=（2-）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan（+β）=③.将②式代入③得tan+tanβ=3-.所以tan，tanβ是方程x2-（3-）x+（2-）=0的两个根.解得x1=1，x2=2-.又0＜＜，所以tan≠1.所以tan=2-，tanβ=1，tanα=tan（+）·所以α=，β=.所以存在α=，β=使①②式同时成立.备选习题11.已知tanα、tanβ是一元二次方程x2+x+4=0的两个根，α，β∈（-，），求α+β.解：易知tan（α+β）=，∵α，β∈（-，），又∵tanα+tanβ=-3＜0，tanα·tanβ=4＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0.∴α∈（-，0），β∈（-，0）.∴α+β∈（-π，0）.∴α+β=-.12.已知sin（2α+β）+2sinβ=0，求证：tanα=3tan（α+β）.证明：由条件得：sin［（α+β）+α］+2sin［（α+β）-α］=0，∴sin（α+β）·cosα+cos（α+β）·sinα+2sin（α+β）·cosα-2cos（α+β）·sinα=0.∴sinα·cos（α+β）=3cosα·sin（α+β）.∴.即：tanα=3tan（α+β）.13.求证：tan（α+β）-tan（α-β）-tan2β=tan（α+β）·tan（α-β）tan2β.证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan［（α+β）-（α-β）］变形而得到.∵tan2β=tan［（α+β）-（α-β）］=∴tan2β［1+tan（α+β）·tan（α-β）］=tan（α+β）-tan（α-β）.∴tan2β+tan（α+β）tan（α-β）tan2β=tan（α+β）-tan（α-β）.∴tan（α+β）-tan（α-β）-tan2β=tan（α+β）·tan（α-β）tan2β.14.tanα，tanβ是方程ax2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan（α+β）的取值范围.解析：因为tanα、tanβ是方程ax2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a（a+2）≥0且a≠0.解得a≤且a≠0,∴a的取值范围是（-∞，0）∪（0，］.由根与系数关系知tanα+tanβ=，tanα·tanβ=.于是tan（α+β）==由于-a-≥--=.且-a-≠-，∴tan（α+β）的取值范围是［，-）∪（-，+∞）.15.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值.解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=，∴两式相加得sinαcosβ=，两式相减得cosαsinβ=.∴=5，即=5.∴=5.
