7.3*复数的三角表示课后篇巩固提升基础达标练1.将复数z=3化成代数形式为;|z|=.解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.答案-3i32.将复数z=-2+2i化成三角形式是.解析模长|z|==4,设辐角为θ,tanθ=-,且点(-2,2)在第二象限,得辐角主值为π,故z=4.答案43.[2(cos60°+isin60°)]3=.解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.答案-84.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2=-1+i.5.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=×6×cos+isin=3=3i.首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求的三角形式.解[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)].能力提升练1.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数的模.解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.(2)由题意可知i+=1+i,因此,.2.复数z=-1+的辐角主值为.解析因为=i,所以=i2021=i.所以z=-1+i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为.答案3.÷(3i)=.解析原式=÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin==-i.答案-i4.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=+bi(b∈R).∵|z|=2,∴=2,解得b=±1,∴z=+i或z=-i.化为三角形式,得z=2cos+isin或z=2cos+isin.5.计算下列各式的值:(1)·2cos+isin;(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).解(1)·2cos+isin=cos+isin·2cos+isin=2(cosπ+isinπ)=-2.(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.6.求证:=cosθ-isinθ.证明左边===cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ=右边.素养培优练已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.解(1)argω=,可设ω=a-ai(a∈R),将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴解得∴ω=-1+i.(2)|z-ω|=|(cosθ+1)+(sinθ-1)i|===.∵|z-ω|=1+,∴=1+,化简得cos=1.∵≤θ+<2π+,∴θ+=2π,即θ=.
